Aufgabe:
Für den projektiven Raum ℙ3 sind die Begriffe Punkt, Gerade und Ebene analog zu
Def. 40 erklärt. Für jede Wahl von x, u ∈ ℙ3 ist z.B. die Menge {x + λu : λ ∈ ℝ} eine Gerade durch x in
Richtung u. Zeigen Sie:
a) Sind E1, E2 ⊆ ℙ3 Ebenen mit E1 ≠ E2, so ist E1 ∩ E2 eine Gerade.
b) Ist G ⊆ ℙ3 eine Gerade und E ⊆ℙ3 eine Ebene, so gilt G ⊆ E oder |E ∩ G| = 1.
c) Sind G1, G2 ⊆ ℙ3Geraden mit G1 ≠ G2, so kann G1 ∩ G2 einen oder keinen Punkt enthalten
Definition 40. Sei U ⊆ Κn ein Untervektorraum und x ∈ Kn. Dann heißt x + U := { x + u : u ∈ U } ⊆ Kn ein affiner Unterraum von Kn. Im Fall dim U = 0 / 1 / 2 / n − 1 spricht man von einem Punkt / einer Geraden / einer
Ebene / einer Hyperebene.
Problem/Ansatz:
Für a) wäre mein ansatz die Teilmengen von ℙ3 mit {0} zu vereinigen und diese dann als Unterraum von ℝ4 aufzufassen. Dann könnte ich den Dimensionssatz dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1∩U2) für Unterräume auf dim(U1∩U2) umformen, dann wäre zu zeigen dim(U1∩U2)=1. Ich weiß, dass dim(E1)=dim(E2)=2, also müsste ich zeigen dim(E1+E2)=3, damit 1=2+2-3 und dann wäre die Aussage wahr, aber ich weiß nicht genau wie ich das machen soll.
Bei b) hab ich gedacht man könnte vielleicht G⊄E annehmen und daraus dann |E ∩ G| = 1 folgern, aber da fehlt mir ein konkreter Ansatz wie genau das gefolgert werden kann. Für |E∩G|=1 könnte man eventuell auch wieder den dimensionssatz wie in a Anwenden.
Bei c) wäre mein Ansatz ähnlich wie bei b) anzunehmen, dass der Schnitt nicht leer ist und dann zu folgern, dass es genau einen Punkt im Schnitt gibt, aber ich weiß auch hier nicht genau, wie ich das machen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.
