Strenge Monotonie mit ZWS

Question

Zeigen Sie, dass jede stetige, injektive Funktion \( f:(a, b) \longrightarrow \mathbb{R} \) auf dem Intervall \( (a, b) \) streng monoton ist.
Zwischenwertsatz

Ich muss das mit dem Beweisen noch lernen und wollte deswegen fragen ob mein Ansatz hier richtig ist. Ich habe folgendes

ƒ ist streng monoton auf a,b
also muss auch ƒ´ > 0 auf (a,b) oder ƒ´< 0
=> ƒ(a)-ƒ(b)/ a-b für a>0

Nach dem ZWS muss also auch ƒ(a) > ƒ(b) sein u. a>b
=> Stetig, da für jedes n∈ (ƒ(a),ƒ(b)) ein c∈(a,b) existiert mit ƒ(c)=n
Zu jedem n existiert also höchstens ein c. ƒ ist injektiv

Answer 1

Du brauchst nicht voraussetzen, dass \( f \) differenzierbar ist, es reicht Stetigkeit.

(1) Wenn \( f \) streng monoton ist, dann gilt für \( x \ne y \) das entweder \( x < y \) oder \( x > y \) gilt. Wegen der strengen Monotonie folgt in jedem Fall, dass \( f(x) \ne f(y) \) gilt und damit ist die Funktion injektiv.

(2) \( f \) ist jetzt stetig und injektiv.

Da \( f \) injektiv ist, gilt \( f(a) \ne f(b) \) und o.B.d.A sei \( f(a) < f(b) \), dann gilt \( f(a) < f(x) < f(b) \) für alle \( x \in (a,b ) \).

Denn angenommen es gäbe ein \( x_0 \in (a,b) \) mit z.B. \( f(x_0) \le f(a) < f(b) \) dann folgt aus dem ZWS für stetige Funktionen, das es ein \( \xi \in (x_0,b) \) gibt mit \( f(\xi) = f(a) \)

Da \( \xi \ne a \) gilt, widerspricht dies aber der Injektivität.

Und genaus gibt es einen Widerspruch im \( f(a) < f(b) \le f(x_0) \)

Sei jetzt \( a < x < y < b \), dann gilt wegen dem eben bewiesenen auch \( f(x) < f(y) \) und damit ist die Funktion stereng monoton.