Summe aufsplitten, aber wie?

Question

Hey, sorry, dass ich jetzt direkt noch etwas frage, allerdings hakt es bei mir doch wieder an einer Stelle. Seht ihr vielleicht, was hier aufgesplittert wurde (unterstrichener Teil)?

Text erkannt:

\( \operatorname{Mit}(k-n)^{-}=(n-k) \cdot \mathbb{1}_{\{n \geq k\}} \) gilt:
\( \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left(\frac{S_{n}-n}{\sqrt{n}}\right)^{-}\right] & =\frac{1}{\sqrt{n}} \sum \limits_{k=0}^{\infty}(k-n)^{-} \cdot \frac{n^{k}}{k !} e^{-n} \\ & =e^{-n} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum \limits_{k=0}^{n}(n-k) \frac{n^{k}}{k !} \\ & =e^{-n} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n^{k+1}}{k !}-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{n^{k}}{(k-1) !}\right) \\ & =e^{-n} \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k !}-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{n^{k-1}}{(k-1) !}\right) \\ & =e^{-n} \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k !}-\sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{n^{k}}{(k) !}\right) \\ & =e^{-n} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{n}}{n !} . \quad(\mathbf{1 P}) \end{aligned} \)

Answer 1

∑ (n-k) * \( \frac{n^k}{k!} \)  =

∑ n * \( \frac{n^k}{k!} \) - k * \( \frac{n^k}{k!} \)  =

∑  \( \frac{n*n^k}{k!} \) - ∑ \( \frac{k*n^k}{k!} \)  =

bei der zweiten Summe trägt k=0 nichts bei, da mit k multipliziert wird. Also läuft da k von 1 bis n

∑  \( \frac{n^{k+1} }{k!} \) - ∑ \( \frac{n^k}{(k-1)!} \)  =

n*∑  \( \frac{n^k }{k!} \) - n*∑ \( \frac{n^{k-1}}{(k-1)!} \)  =

n*∑  \( \frac{n^k }{k!} \) [k= 0..n] - n*∑ \( \frac{n^k}{k!} \)  [k=0..n-1] = n* \( \frac{n^n }{n!} \)

Also heben sich die ersten n-1 Summanden heraus und es bleibt der letzte k=n übrig

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Vielen Dank:)

Answer 2

Hallo

einfach die Klammer ausmultipliziert un im zweiten Term k gekürzt (und0 bei  k=0 weggelassen.

lul

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Vielen Dank:)