Stammfunktion bestimmen/erklären

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgende Stammfunktion. Vereinfachen Sie den Ausdruck soweit wie möglich.

\( \int\left(\frac{1}{\sqrt{7-x}}\right)^{3} \mathrm{~d} x \)

Problem/Ansatz:

Hier die Lösung, die ich leider nicht ganz verstehe:

\(\int\left(\frac{1}{\sqrt{7-x}}\right)^{3} \mathrm{~d} x=\int(7-x)^{-\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=-2(7-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-1)+C=\frac{2}{\sqrt{7-x}}+C \)

Schon der erste Schritt bereitet mir Probleme. Wie genau wird die klammer im Integrand vereinfacht? Das integrieren an sich verstehe ich hier Ist bestimmt eine sehr einfach Lösung aber ich komme nicht drauf :(

Answer 1

Potenz- und Wurzelgesetze:

\( \sqrt{a}=a^\frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{\sqrt{a}}=a^{-\frac{1}{2}} \)

\( (\frac{1}{\sqrt{a}})^3=a^{-\frac{1}{2}\cdot 3} \)

Answer 2

\( \int\left(\frac{1}{\sqrt{7-x}}\right)^{3} \mathrm{~d} x \)

Substitution:  \(7-x=u\)       \(x=7-u\)       \(dx=-du\)

\(\int\limits_{}^{}(\frac{1}{\sqrt{u}})^3*(-du)=-\int\limits_{}^{}u^{-\frac{3}{2}}du= \frac{-u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}=2u^{-\frac{1}{2}} =\frac{2}{\sqrt{u}}\)

Re-Substitution:\( \int\left(\frac{1}{\sqrt{7-x}}\right)^{3} \mathrm{~d} x=\frac{2}{\sqrt{7-x}}+C \)

Comments

warum so einen aufwand machen ..... .-.

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Vielleicht, weil der Weg auch eine Möglichkeit darstellt?!