Gelenksparallelogramm Beweis: Zeigen der Parallelität

Question

Aufgabe:

Bauen Sie aus zwei Paaren jeweils gleich langer Kartonstreifen ein bewegliches Gelenksparal-
lelogramm. Man kann dann eine Seite „durchschlagen“ und erhält ein so genanntes Antiparallelo-
gramm ABCD (die Seiten AD und BC sind Diagonalen im gleichschenkligen Trapez ACDB).

1. Zeigen Sie: Es gilt immer AC || BD .
2. Zeigen Sie: Wenn man in einer beliebigen Lage nun irgendeine Parallele zu AC bzw. BD
durch einen beliebigen Punkt O auf AB (die Schnittpunkte mit AD, BC, CD in dieser Lage
seien mit P, P', O' bezeichnet; es sind dann feste Punkte auf diesen Strecken) zieht, dann
bleiben die Punkte O, P, P', O' bei Bewegung des Gelenksvierecks immer auf einer Geraden.

Problem/Ansatz:

Ich habe das Gelenksparallelgramm bereits gebaut. Beim 1. Punkt habe ich bewiesen, dass in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten immer parallel sein müssen. Ich weiß nicht wie ich beim 2. Punkt weiter machen kann.

Answer 1

1. Zeigen Sie: Es gilt immer AC || BD .

Nach dem "Durchschlagen" sind die Winkel ABC und ADC Umfangswinkel über der gleichen Sehne AC und folglich gleichgroß. Die Dreiecke ACB und ACD sind kongruent (sws) und haben folglich die gleiche Höhe auf AC. Also haben D und B den gleichen Abstand zu AC und DB ist parallel zu AC.