Rekursive Folge, die Folge (an)n∈N sei wie folgt rekursiv definiert:

Question

Aufgabe:

Rekursive Folge

Problem/Ansatz:

Rekursive Folge

Es seien a, b ∈ R. Die Folge (an)_n∈N sei wie folgt rekursiv definiert:

Text erkannt:

\( a_{1}:=a, \quad a_{2}:=b, \quad a_{n}:=\frac{1}{3}\left(2 a_{n-1}+a_{n-2}\right) \) for \( n \geq 3 \)

a) Zeigen Sie, dass für alle k ∈ N die Gleichung

Text erkannt:

\( a_{k+1}-a_{k}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

gilt.

B) Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert

//  Für A ) 3₍a_n−a_n−1)=−(a_n−1−a_n−2)

Für B) Ich kann teleskopieren: a_n=(a_n−a_n−1)+(a_n−1−a_n−2)+⋯(a₂−a₁)+a₁.

Ich habe darüber nachgedacht, konnte aber die Fortsetzung und das Ende nicht machen. Gibt es jemanden, der helfen kann?

LG

Answer 1

A geht doch sicher mit Induktion und für B kannst du doch sagen:

Sei ε>0. Wegen \( a_{k+1}-a_{k}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

gilt \( | a_{k+1}-a_{k}| = |\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a)| \lt \epsilon \)

<=>         \(     \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}|(b-a)| \lt \epsilon \)

<=>        \(   \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \lt \frac{ \epsilon }{|(b-a)|}\)

<=>        \( (k-1) \cdot  ln \left(\frac{1}{3}\right) \lt  ln (\frac{ \epsilon }{|(b-a)|} )\)

Beachte ln(1/3) <0 also

<=>        \( (k-1)  \gt \frac{ ln (\frac{ \epsilon }{|(b-a)|} )} { ln \left(\frac{1}{3}\right)}\)

Also gibt es ein K, so dass für k>K gilt \( | a_{k+1}-a_{k}|  \lt \epsilon \).

Also konvergiert die Folge nach Cauchy.

Und für den Grenzwert kann man doch \( a_{k+1}-a_{k}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

benutzen in der Form \( a_{k+1}= a_{k}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}(b-a) \)

Da gibt es \( a_{3}= b+\left(-\frac{1}{3}\right)(b-a) \)

\( a_{4}= b+\left(-\frac{1}{3}\right)(b-a)+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}(b-a) \)  etc.

Das wird dann wohl zu

\( a_{n}= b+ \sum\limits_{k=1}^{n-2}\left(-\frac{1}{3}\right)^{k}(b-a) =  b+(b-a) \sum\limits_{k=1}^{n-2}\left(-\frac{1}{3}\right)^{k}  \)

Und mit der geom. Reihe komme ich auf Grenzwert g = b+(b-a)*0,75