Berechnen Sie den Inhalt der abgebildeten Fläche A zwischen dem Graphen der Kosinusfunktion , dem Graphen von g ( x …

Question

Aufgabe:

Flächenberechnung

Berechnen Sie den Inhalt der abgebildeten Fläche A zwischen dem Graphen der Kosinusfunktion , dem Graphen von g ( x ) = x - x² und der x - Achse .

Wenn möglich einen ausführlicheren Rechenweg

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht wirklich sicher, wie genau ich die Grenzen wählen soll, es gibt ja insgesamt 4 Nullstellen, welchen man als Grenze wählen könnte:

für cos(x) : -π/2 ; π/2

für g(x)= x-x² : 0 ; 1

Ich bin sehr verzweifelt, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Danke schonmal im Voraus.

Comments

Es ist von einer "abgebildeten" Fläche die Rede. Wie sieht diese aus?

Answer 1

Die gesuchte Fläche \(A\) sieht laut deiner Beschreibung so aus:

Damit erhältst du

$$A= \int_{-\frac{\pi}{2}}^0\cos x\; dx + \int_{0}^1(\cos x -(x-x^2) )\; dx + \int_1^{\frac{\pi}{2}}\cos x\; dx$$

$$= 1 + (\sin 1 - \frac 16) + (1-\sin 1)=\frac{11}6$$

Answer 2

Fläche unter \(f(x)=cos(x)\)

\(A_1=2* \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}} cos(x)*dx=2*sin(x)→2*sin(\frac{π}{2})-2*sin(0)=2\)

\(g(x)= x-x²\)   Nullstellen \(g(x)= x-x²\)     \(x₁= 0\) ∨ \(x₂= 1\)

Fläche unter \(g(x)= x-x²\) 

\(A_2= \int\limits_{0}^{1} (x-x²)*dx=[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3]→[\frac{1}{2}-\frac{1}{3} ]-[0]=\frac{1}{6}\)

\(A=A_1-A_2=2-\frac{1}{6}=\frac{11}{6}\)