diagonalisierbar mit Parameter

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von \( a \in \mathbb{R} \) ist die Matrix

\( \left(\begin{array}{ccc} 5 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Ich habe als Eigenwerte 5 und 3

Habe dann den Eigenvektor für 3 mit (1,1,0)

Für 5 allerdigs die Matrix

(0 -2 6

0 -2 a

0 0 0) ,da der Eigenwert 5 im quadrat steht hat er die Vielfachheit 2, allerdings komme ich hier irgendwie nicht auf 2 Eigenvektoren für 5.

Meine Vermutung ist für a gleich 6 funktioniert es

Answer 1

Hallo :-)

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis für den \(\R^3\) aus Eigenvektoren gibt.

Du musst also schauen, wann deine Eigenvektoren in Abhängigkeit von a eine Basis des \(\R^3\) bilden.