Zeigen : Dann ist {θkl ; k,l ∈ {1,...,n}} eine Basis von Bil(V,K).

Question

Aufgabe:

Sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum, und sei {Θ1,...,Θn} eine Basis des Dualraums V∗. Für k,l∈{1,...,n} sei θkl :V×V→R definiert durch θkl(u,v):=Θk(u)·Θl(v). Zeigen Sie: Dann ist {θkl ; k,l ∈ {1,...,n}} eine Basis von Bil(V,K).

Problem/Ansatz:

ich hab es versucht , diese Aufgabe zu machen ,aber könnte es leider nicht verstehen .

Answer 1

Ich schreibe mal T statt theta.

Sei B eine Bilinearform. Wir zeigen, dass sich B als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellen lässt. Dazu sei zunächst ein \(v \in V\) festgehalten. Dann ist \(x \mapsto B(x,v)\) ein lineares Funktional und besitzt eine Basisdarstellung:

$$\forall x \in V: \quad B(x,v)=\sum_{i=1}^nc_iT_i(x)$$

Die Koeffizienten \(c_i\) hängen von dem betrachteten v ab. Wenn wir dies für jedes \(v \in V\) machen, erhalten wir Abbildungen \(c_i:V \to K\) mit

$$\forall v \in V: \qquad \forall x \in V: \quad B(x,v)=\sum_{i=1}^nc_i(v)T_i(x)$$

Die \(c_i\) sind linear. Es gilt für alle \(x,v,w \in V\) und \(s,t \in K\)

$$1. \qquad B(x,sv+tw)=\sum_{i=1}^nc_i(sv+tw)T_i(x)$$

$$2. \qquad B(x,sv+tw)=sB(x,v)+tB(x,w)=s\sum_{i=1}^nc_i(v)T_i(x)+t\sum_{i=1}^nc_i(w)T_i(x)$$

Durch Koeffizientenvergleich folgt die Linearität \(c_i(sv+tw)=sc_i(v)+tc_i(w)\). Da die \(c_i\) also in \(V^{\ast}\) liegen besitzt jede eine Basisdarstellung mit Koeffizienten \(a_{ij} \in K\):

$$c_i=\sum_{j=1}^na_{ij}T_j$$

Insgesamt haben wir damit eine eindeutige Darstellung von B erhalten:

$$\forall x,v \in V:\quad B(x,v)=\sum_{i=1}^nc_i(v)T_i(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}T_j(v)T_i(x)$$