Zeigen Sie, dass L linear ist genau dann, wenn L(x) = ax für ein a ∈ R.

Question

Aufgabe:

Es sei L : R → R eine Abbildung. Zeigen Sie, dass L linear ist genau dann, wenn L(x) = ax für ein a ∈ R.
Hinweis: Verwenden Sie die Standardbasis für R.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Lösung helfen? Ich habe keinen Ansatz :/

Answer 1

R hat als R-Vektorraum die Standardbasis 1.

Wenn L:R→R linear ist, muss ja insbesondere gelten

        L(x*1) = x*L(1) für alle x∈R . Und wenn L(1)=a ist, also L(x)=x*a.

Also ist schon mal gezeigt: L linear ==> ∃a∈R mit L(x)=x*a für alle x∈R.

Umgekehrt: Sei a∈R und definiere L(x)=x*a.

Dann ist die Abbildung linear; denn

L(x+y)=(x+y)*a=x*a+y*a = L8x)+L(y)

und L(x*y) = x*y*a=x*(y*a) = x*L(y) .