Eine Fruchtsaftpackung mit 1 Liter Inhalt soll die Form eines quadratischen Prismas haben (Quader mit quadratischer Grundfläche). Zur Herstellung der Packung wird beschichtete Pappe für den Mantel und für die Boden- und Deckfläche benötigt. Für die Boden- und Deckfläche wird wegen der Verklebung die 2.5-fache Menge benötigt.
Gefragt sind die Abmessungen wenn die Materialmenge minimal sein soll
Oberfläche quadratisches Prisma allgemein:
\(O(a,h)= 2*a^2+4*a*h\)
Da die Boden-und Deckfläche verstärkt wird :
Zielfunktion: \(O(a,h)= 2*a^2*2,5+4*a*h\) soll minimal werden.
Nebenbedingung: \(a^2*h=1\) → \(h=\frac{1}{a^2}\)
\(O(a)= 2*a^2*2,5+4*a*\frac{1}{a^2}=5a^2+\frac{4}{a}=\frac{5a^3+4}{a}\)
\(O´(a)=\frac{15a^2*a-(5a^3+4)*1}{a^2}=\frac{15a^3-5a^3-4)}{a^2}=\frac{10a^3-4}{a^2}\)
\(\frac{10a^3-4}{a^2}=0\)
\(10a^3=4\) \(a^3=0,4\) \(a=\sqrt[3]{0,4}\) Nun noch h berechnen.
