Aufgabe:
Sei K ein Körper und A,B ∈ M(n,n;K).
a) Zeigen Sie: Spur(AB) = Spur(BA).
b) Sei A ähnlich zu B. Zeigen Sie mit a): Spur(A) = Spur(B).
c) Gegeben sei, dass die folgende Matrix reell diagonalisierbar ist:
M = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 1 & 1 &1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & π \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 42 \\ 0 & 2 & 1 & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & π & 42 & 1 & 2\end{pmatrix} \)
Folgern Sie: M hat einen Eigenwert λ ∈ ℝ \ (ℤ ∪ {\( \frac{1}{5} \) }).
d) Sei A2 = A. Zeigen Sie: Spur(A) = Rang(A).
Als Hinweis steht hier, dass man die folgende Aufgabe betrachten soll:
Sei \( K \) ein Körper und sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum. Sei \( L: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft \( L^{2}:=L \circ L=L \).
a) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{ker}(L) \cap \operatorname{im}(L)=\{0\} \).
b) Folgern Sie: \( V=\operatorname{ker}(L) \oplus \operatorname{im}(L) \).
c) Zeigen Sie, dass für eine lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \operatorname{im} \) Allgemeinen \( \operatorname{aus} \operatorname{dim}(V)= \) \( \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(L))+\operatorname{Rang}(L) \) nicht \( V=\operatorname{ker}(L) \oplus \operatorname{im}(L) \) folgt.
Problem/Ansatz:
Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar
