Konvergenz und Grenzwertberechnung einer Folge

Question

Aufgabe:

$$\text{Untersuche die Folge auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert}\\ a_k=\frac{2k^2+(-1)^k(k^2+2)}{k^2}$$

Problem/Ansatz:

Wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz?

Answer 1

Aloha :)

Bei dem Patienten stört mich der Faktor \((-1)^k\), daher schlage ich eine Fallunterscheidung für gerade \(k\) und für ungerade \(k\) vor:$$a_k=\frac{2k^2+(-1)^k(k^2+2)}{k^2}=\left\{\begin{array}{cl} \frac{3k^2+2}{k^2}&\text{für gerade \(k\)}\\[1ex]\frac{k^2-2}{k^2} &\text{für ungerade \(k\)}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{cl} \left(3+\frac{2}{k^2}\right)&\text{für gerade \(k\)}\\[1ex]\left(1-\frac{2}{k^2}\right) &\text{für ungerade \(k\)}\end{array}\right.$$Für gerade \(k\) hat \((a_k)\) den Häufungspunkt \(3\), für ungerade \(k\) den Häufungspunkt \(1\).

Daher konvergiert die Folge \((a_k)\) nicht.

Comments

Danke, genau das $$(-1)^k$$ hat mich vor Probleme gestellt.