Integral einer periodischen Funktion

Question

Aufgabe:

Sei \(f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) mit Periode \(p>0\), d.h. es gelte \(f(x+p)=f(x)\) für alle \(x\in \mathbb{R}\). Beweisen Sie, dass für jedes \(a\in \mathbb{R}\) gilt:

$$\int \limits_a^{a+p}f(x)dx = \int \limits_0^p f(x)dx$$

Answer 1

Sei \(n\in \mathbb{Z}\) so dass \(np \leq a\) und \((n+1)p > a\) ist.

Zeige

        \(\displaystyle\int \limits_ {np}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x = \int \limits_0^p f(x)\,\mathrm{d}x\)

und

        \(\displaystyle\int \limits_ {a}^{a+p}f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int \limits_ {np}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x\).

Comments

Das Obere ist klar, aber wie zeige ich das untere? Das lässt sich ja nicht mehr mit \(f(x) = f(x+p)\) begründen...

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\(\begin{aligned}&\int \limits_ {np}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x \\=& \int \limits_ {np}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x+\int \limits_ {a}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x\\=& \int \limits_ {np+p}^{a+p}f(x)\,\mathrm{d}x+\int \limits_ {a}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x\end{aligned}\)