Dreieck in seinem Umkreis

Question

Aufgabe:

In der folgenden Skizze ist ein Dreieck mit seinem Umkreis gegeben, dessen Mittelpunkt wir mit U und dessen Radius wir mit R bezeichnen.

a) Welche Beziehung besteht zwischen w(γ) und w(δ′)? Begründen Sie.

b) Zeigen Sie damit, dass sin (γ) = c/2R

c) Leiten nun mit Hilfe von b) folgende Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks unter Verwendung des Umkreisradius R her: A = abc/4R

Answer 1

a) Satz vom Mittelpunktswinkel ergibt

Im gleichschenkligen Dreieck ABU mit Basiswinkeln der Größe α '

gilt    2γ + α ' + α '  = 180°  ==>   γ + α ' = 90°

Im rechtwi. Dreieck ADU gilt  α ' + 90° + δ ' = 180° ==>    α ' + δ ' = 90°

Also   γ + α ' = 90° =   α ' + δ '    ==>     δ '   =  γ.

Einfacher auch so argumentiert:

Im gleichschenkligen Dreieck ABU ist die Höhe auch die

Winkelhalbierende, also ist δ ' der halbe Mittelpunktswinkel,

somit die Hälfte von 2γ , also gleich  γ

Answer 2

Hallo,

a)$$\delta'=\gamma$$

b) $$\sin\gamma=\sin\delta'=\frac{c/2}{R}=\frac{c}{2R}$$

c) $$ A=\frac12 a\cdot h_a=\frac12 a b \sin\gamma= \frac12 ab \cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}$$

:-)