ich muss bestimmen, ob die folgenden Matrizen positiv / negativ definit sind oder indefinit
1. \( \begin{pmatrix} -10 & 8 \\ 8 & -7 \end{pmatrix} \)
Ansatz: diese Matrix kann schonmal NICHT positiv definit sein, weil wir auf der Hauptdiagonale keine positive Elemente haben.
sie ist also entweder negativ definit oder indefinit.
der 2. Schritt wäre jetzt, die Hauptabschnittsdeterminanten zu berechnen.
für det (-10) kommt -10 raus, für die det der ganzen Matrix käme 70 raus.
ich weiß jetzt aber nicht was das heißt, also ist sie somit negativ definit oder indefinit?
2. \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
gleiche Vorgehensweise
Hauptdiagonalelemente: alle negativ - also entweder negativ definit oder indefinit
Hauptabschnittsdeterminanten: det(-3) = -3
det \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \) = 2
det. der ganzen Matrix: 0
also was heißt das jetzt? ist sie negativ definit oder indefinit?
3. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 5 \\ 8 & 5& 6 \end{pmatrix} \)
hier: alle Hauptdiagonalelemente sind positiv, also ist dise Matrix entweder positiv definit oder indefinit.
die Hauptabschnittsdeterminanten lauten 1, 0 und -25
ist sie jetzt positiv definit oder indefinit?
4. \( \begin{pmatrix} -3 & -8 \\ -8 & -1 \end{pmatrix} \)
alle Hauptdiagonalelemente negativ, also entweder negativ definit oder indefinit
die Hauptabschnittsdeterminanten lauten -3 und -61
ist sie also negativ definit oder indefinit?
das wär's :) ich glaube es ist deutlich, womit ich Probleme habe.
die Vorgehensweise an sich ist mir klar: erstmal Hauptdiagonale anschauen, und dann Hauptabschnittsdeterminanten berechnen
ich weiß aber nicht, wie ich die Ergbenisse dann interprietieren kann- Wie entscheide ich grundsätzlich, ob die Matrix negativ, positiv, oder indefinit ist, wenn ich die Hauptabschnittsdeterminanten habe?
Danke im Voraus!
