Beweis über Determinante

Question

Aufgabe:

Seien \( n \geq 1, K \) ein Körper, \( a, b \in K \) mit \( a \neq b \) und \( C_{n}=\left(c_{i j}\right) \in K^{n \times n} \) mit
\( C_{n}=\left(\begin{array}{cccc} a+b & a b & & 0 \\ 1 & a+b & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a b \\ 0 & & 1 & a+b \end{array}\right), \text { also } c_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} a+b & \text { für } i=j, \\ a b & \text { für } i=j-1, \\ 1 & \text { für } i=j+1, \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Zeigen Sie \( \operatorname{det}\left(C_{n}\right)=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \).

Problem/Ansatz:

Mein Plan war es das über Induktion und der Definition der Determinante zu machen. Irgendwie klappt das nicht so 100% wie ich will.

Wäre über Hilfe/Lösung sehr dankbar.

Answer 1

Ich schreib dir mal den Induktionsschritt \(n-1 \rightarrow n\) hin.

$$\det C_n = (a+b)\det C_{n-1} - ab\det C_{n-2}$$

$$= (a+b)\frac{a^n-b^n}{a-b} - ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}$$

$$\stackrel{ausrechnen}{=}  \frac{a^{n+}-b^{n+1}}{a-b}$$

Beachte, für diese Induktion musst du für den Induktionsanfang zeigen, dass die Formel sowohl für \(C_1\) als auch für \(C_2\) richtig ist.

Comments

ah ich dummkopf hab mir die matrizen aufgezeichnet und dachte ich kann dann die Determinanten über die Diagonale bestimmen. Aber so macht es das natürlich deutlich leichter vielen dank euch beiden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Mein Plan war es das über Induktion und der Definition der Determinante zu machen.

Gute Idee.

Wenn du das nach der ersten Zeile entwickelst, musst du nur (a+b) mit der Determinante multiplizieren, die nach Streichen der ersten Zeile und Spalte bleibt (und die ist auch mit reichlich Nullen besetzt).

Dann musst du a*b mit der Determinante multiplizieren, die nach Streichen der ersten Zeile und zweiten Spalte bleibt.

Alle weiteren Elemente der ersten Zeile sind 0 und tragen nichts mehr zum Ergebnis bei.

Es bleibt, die Differenz der beiden ersten Ergebnisse zu bilden.

Comments

Ja ich habs probiert und verstehe was ich machen soll, aber dann erhalte ich wieder 2 matrizen mit denen ich bis auf die zweite nichts anfangen kann. :D