Beweisen dass (2n) ≤ (n!) ∀ n ∈ N \ {1,2,3} gilt

Question

Aufgabe: Beweisen sie oder widerlegen sie dass (2^n) ≤ (n!) ∀ n ∈ N \ {1,2,3}.

als beweis habe
Sei n = 4:
Dann gilt:
2^4 = 16
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Also gilt die Aussage 2^n ≤  n! bei n = 4

Sei n = 5:
2^5 = 32
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Also gilt die Aussage 2^n ≤  n! bei n = 5

Sei n = 6:
2^6 = 64
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Also gilt die Aussage 2^n ≤  n! bei n = 6

Wir sehen, dass in alle drei Fälle n! größer als 2^n ist, daher gilt die Aussage dass ∀ n ∈ N \ {1,2,3}, n 2^n ≤  n!

Ist mein Beweis richtig? Wenn nicht, dann was ist das richtiger Beweis?

Comments

Du zeigst die Behauptung lediglich für 3 Spezialfälle, gezeigt werden soll sie aber für alle natürlichen Zahlen n≥5.

Answer 1

Wenn nicht, dann was ist das richtiger Beweis?

Hier ist ein Beweis mit vollständiger Induktion angebracht.

Comments

okay ich komme nach der Induktionsbehauptung nicht weiter, wie soll das Induktionsschluss bei der aufgabe dann aussiehen?

ich habe folgendes berechnet aber ich denke dass es falsch ist.

beweis:

IA)
Wir müssen zeigen, dass die Aussage für n = 4 gilt:
2^4 = 16 und 4! = 24. Daher gilt 2^4 ≤ 4! und die Annahme ist erfüllt.
IV )
∃ n ∈ N \ {1,2,3}: 2^n ≤ n! ∀

IS) z.Z: 2^(n+1) ≤ (n+1)! ∀ n ∈ N \ {1,2,3}

2^(n+1) = 2 * 2^n ≤ 2 * n! = (n+1)

und so gilt dass (2^n) ≤ (n!)

---

Ind.-V:

2^n<n!

Daraus folgt

2*2^n < 2*n!

Wegen n>3 gilt auch

2*n! <(n+1)*n!, also gilt die Ungleichungskette

2*2^n < 2*n!<(n+1)*n!, vereinfacht geschrieben:

2ⁿ⁺¹ < 2*n! <(n+1)!