Eine Übung zur partiellen Ableitung

Question

Man hat u=ln(x³+y³+z³ -3xyz). Nun soll man zeigen, dass (x + y + z) (du/dx + du/dy + du/dz) = 3

Durch substituieren von u=lnv und v=x³+y³+z³-3xyz erhalte ich

du/dx = 1/v(3x²-3yz)

du/dy und du/dz erhalte ich analog.

Doch nun scheitere ich irgendwie im auflösen, erhalte nicht 3

Answer 1

Hi,

ja das ist soweit richtig.

Du hast also:


$$(x+y+z)\left(\frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz} + \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz} + \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz} \right)$$

3 kannst Du ausklammern. Dann muss der Rest 1 ergeben.

Ich sehe hier leider keinen schönen Trick.

Du kannst also einfach (x+y+z)(x^2-yz+3y^2-xz+z^2-3xy) ausmultiplizieren und mit dem Nenner vergleichen.

Wenn Du fit in Polynomdivision  bist, kannst Du allerdings auch den Nenner nehmen und durch (x+y+z) dividieren (wäre wohl meine Wahl^^).


In der Tat ist dieser Teil dann 1 und insgesamt erhalten wir 3.

Grüße

Answer 2

u = LN(x^3 + y^3 + z^3 - 3·x·y·z)

du/dx = 3·(x^2 - y·z)/(x^3 - 3·x·y·z + y^3 + z^3)

du/dy = 3·(y^2 - x·z)/(x^3 - 3·x·y·z + y^3 + z^3)

du/dz = 3·(z^2 - x·y)/(x^3 - 3·x·y·z + y^3 + z^3)

du/dx + du/dy + du/dz = 3/(x + y + z)

Wenn wir das jetzt noch mit (x + y + z) multiplizieren kommt am Ende 3 heraus.