bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer des Modell-Parameters?

Question

Aufgabe:

Für ein  n ∈ N seien x_1, . . . , x_n die Beobachtungen von n
unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen X_1, . . . , X_n mit Werten in {0, 1}.
Hierbei sei die Wahrscheinlichkeit ϑ ∈ [0; 1] von {X_1 = 1} unbekannt. Geben Sie ein
geeignetes diskretes statistisches Modell für diese Situation an und bestimmen Sie den
Maximum-Likelihood-Schätzer des Modell-Parameters.

Answer 1

Offensichtlich sind die \(X_i\) bernoulliverteilt mit Parameter \(\vartheta\). Die Anzahl der Einsen unter den Realisierungen ist dann binomialverteilt mit den Parametern \(n\) und \(\vartheta\).

Die Dichtefunktion einer bernoulliverteilten Zufallsvariable ist

\(f(x)=\begin{cases}1-p,&x=0,\\p,&x=1,\\0,&\text{sonst}.\end{cases}\)

Damit ergibt sich für das Produkt solcher Dichten

\(L(\vartheta)=\prod_{i=0}^{n}(1-\vartheta)^{1-x_i}\vartheta^{x_i}\) (Likelihood-Funktion).

Die Loglikehood-Funktion erhält man nun durch Logarithmierung von \(L\), also

\(\ell(\vartheta)=\sum_{i=0}^{n}(1-x_i)\log(1-\vartheta)+x_i\log(\vartheta)\).

Diese Funktion muss nur noch in \(\vartheta\) maximiert werden.

Kontrolle: \(\vartheta\) ist der Anteil der Einsen unter allen Ausprägungen, also \(\vartheta=\frac{\sum x_i}{n}\).