Lösen Sie die folgenden Integrale

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \int \frac{2 x^{2} e^{a}}{2 x^{3}-5} d x \)

Problem/Ansatz:

Lösen Sie die folgenden Integrale. Ich weiß wir müssen die Substitution benutzen. Ich habe aber gar kein Plan wie.

Comments

In Zähler steht "fast" die Ableitung des Nenners.

Verwende:

f(x) = a/(ax-c) -> F(x) = ln(ax-c)

e^a ist eine Konstante, die man vors Integral ziehen kann.

Answer 1

\(\displaystyle \int \frac{2 x^{2} e^{a}}{2 x^{3}-5} d x \)

Substituiere \(  u = 2 x^{3}-5  \) ==>  \(  \frac{du}{dx}=6x^2 \) ==>  \(  du=6x^2 dx\)

Also \(\displaystyle \int \frac{2 x^{2} e^{a}}{2 x^{3}-5} d x = \int \frac{2 x^{2} e^{a}}{u} d x= \int \frac{ e^{a}}{3u} 6x^2d x\)
\( =\displaystyle \frac{e^{a}}{3} \int \frac{ 1}{u}d u = \frac{e^{a}}{3} ln(u) = \frac{e^{a}}{3} ln(|2 x^{3}-5|) \)

Answer 2

Aloha :)

Das ist ein Standard-Integral in der Form$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$wie man nach einer kurzen Umformung sofort sieht:$$\int\frac{2x^2e^\alpha}{2x^3-5}\,dx=\frac{e^\alpha}{3}\int\frac{6x^2}{2x^3-5}\,dx=\frac{e^\alpha}{3}\ln\left|2x^3-5\right|+\text{const}$$

Du kannst das auch mit der Substituion:$$u\coloneqq 2x^3-5\implies\frac{du}{dx}=6x^2\implies dx=\frac{du}{6x^2}$$lösen:$$\small\int\frac{2x^2e^\alpha}{2x^3-5}\,dx=\int\frac{2x^2e^\alpha}{u}\,\frac{du}{6x^2}=\frac{e^\alpha}{3}\int\frac1u\,du=\frac{e^\alpha}{3}\ln|u|+\text{const}=\frac{e^\alpha}{3}\ln|2x^3-5|+\text{const}$$

Answer 3

Eine Seite mit ausführliche Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/