Aufgabe:
Aufgabenstellung:
Im Landschaftspark Hoheward wurde auf einer Plattform eine Sonnenuhr nach einem antiken Vorbild erbaut. Dabei dient der Schatten eines Obelisken als „Zeiger“ der Sonnenuhr (siehe Abbildung 1).
Abbildung 1
Der Obelisk besteht aus einem Pyramidenstumpf mit aufgesetzter kleinerer Pyramide. Die Kugel oberhalb der Spitze und der Sockel, die auf dem Foto zu erkennen sind, werden im Folgenden nicht berücksichtigt.
Der Obelisk steht somit im folgenden Modell direkt auf der Plattform.
Zur Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem so gewählt, dass die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der \( x_{1} x_{2} \)-Ebene liegt und die \( x_{2} \)-Achse nach Norden zeigt (siehe Abbildung 2).
Name:
Eine Längeneinheit in diesem Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die Punkte
\( \begin{array}{l} A_{1}(0,44|0,44| 0), \\ A_{2}(-0,44|0,44| 0) \end{array} \)
sind Eckpunkte der Grundfläche des
Pyramidenstumpfs.
Die Punkte
\( \begin{array}{l} B_{1}(0,32|0,32| 7,25) \\ B_{2}(-0,32|0,32| 7,25) \\ B_{3}(-0,32|-0,32| 7,25) \\ B_{4}(0,32|-0,32| 7,25) \end{array} \)
sind die Eckpunkte der Deckfläche des
Pyramidenstumpfs.
Diese Deckfläche ist gleichzeitig die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Folgenden nur kurz als Pyramide bezeichnet wird.
Der Punkt \( C(0|0| 8) \) befindet sich an der Spitze der Pyramide.
Abbildung 2
Name:
a) (1) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte \( A_{3} \) und \( A_{4} \) der Grundfläche des Pyramidenstumpfs an.
(2) Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen des Pyramidenstumpfs und das Volumen der Pyramide und geben Sie das Volumen des Obelisken an.
[Hinweis: Die erforderlichen Höhen können aus den Koordinaten ermittelt werden.]
\( \text { (1 + } 5 \text { Punkte) } \)
b) Bestimmen Sie rechnerisch die Größe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks \( B_{1} B_{2} C \).
(3 Punkte)
c) Nördlich und oberhalb des Obelisken ist eine Kamera positioniert. Im Modell befindet sich diese Kamera im Punkt \( K(0|5| 15) \).
Untersuchen Sie, ob der Abstand der Kamera zur Pyramidenspitze geringer ist als der Abstand der Kamera zur nächstgelegenen Kante der Grundfläche der Pyramide.
(3 Punkte)
d) Die Punkte \( A_{1}, A_{2}, B_{1} \) und \( B_{2} \) liegen in der Ebene \( E \).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform.
(4 Punkte)
e) Wenn die Sonne genau im Süden steht, fallen die Sonnenstrahlen entlang des Vektors \( \vec{h}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -h\end{array}\right), h \in \mathbb{R}, h>0 \) ein. Dabei ist der Wert des Parameters \( h \) von der Jahreszeit abhängig. Der Schattenpunkt der Spitze der Pyramide ist nur dann am Boden zu sehen, wenn die Sonne nicht zu hoch am Himmel steht.
Für hinreichend kleine Werte von \( h \) ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar \( g_{h} \) mit \( g_{h}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -h\end{array}\right), \quad t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h>0 \).
Name:
(1) Ermitteln Sie, für welche Werte von \( h \) der Schattenpunkt der Spitze am Boden zu sehen ist.
[Hinweis: Die Größe der Plattform muss nicht berücksichtigt werden.]
(2) Ermitteln Sie die von \( h \) abhängigen Koordinaten eines Punktes \( S_{h} \), in dem der Schatten der Spitze auf der Plattform zu sehen ist.
[Hinweis: Die Einschränkung für \( h \) z. B. aus (1) muss nicht berücksichtigt werden.]
Am 22. September 2021 sind Tag und Nacht gleich lang.
An diesem Tag verläuft der Schattenpunkt der Spitze den gesamten Tag geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur \( x_{1} \) - Achse.
Wenn sich die Sonne an diesem Tag zur Mittagszeit genau im Süden befindet, steht sie in einem Winkel von \( 38,4^{\circ} \) über der Plattform der Sonnenuhr.
(3) Ermitteln Sie den Wert von \( h \), für den die Sonne in einem Winkel von 38,4 \( 4^{\circ} \) über der Plattform der Sonnenuhr steht, und geben Sie für die Gerade, entlang derer der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 verläuft, eine Gleichung in Parameterform an.
\( (3+2+4 \text { Punkte) } \)
Problem/Ansatz:
Wir sollen die nachschreibe Klausur in unserem Kurs besprechen, aber wir sind irgendwie alle etwas überfordert.
Über Ansätze wäre ich sehr dankbar.
