Vollständige Induktion für n>=1

Question

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Aufgabe 6 (7 Punkte)
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Aussage: Für alle natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N}, n \geq 1 \), gilt die GLeichung
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=\frac{n}{3 n+1} . \)

Kann mir jemand hier helfen und die einzelnen Schritte erklären, stehe momentan auf den Schlauch.

Answer 1

Mache den Induktionsanfang.

Nimm dann an, dass die zu zeigende Gleichung für n stimmt.

Zeige dann, dass durch Addition des (n+1)-ten Summanden (der ist \( \frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \)) die Summe dann mit \( \frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \)+\( \frac{n}{3n+1} \) tatsächlich \( \frac{n+1}{3(n+1)+1} \), also \( \frac{n+1}{3n+4} \) ist.

Answer 2

Ich würde sofort an eine Partialbruchzerlegung denken.