Aufgabe:
Sei \(f(x)=x^{2} -x+1\). Wir definieren eine Folge \((a_{n})_{n\ge 1}\) durch den Initialfall \(a_{1}=2\) und die Rekurrenz $$a_{n+1} = f(a_{n})\quad \text{für} \space n \in\mathbb{N}\backslash 0 $$
1. Zeigen Sie das \((a_{n})_{n \ge 2}\) echt steigend ist
Wir führen \(\displaystyle b_{n}=\prod\limits_{k=1}^{n} a_{k}^{1/a_{k}}\) ein und \(\displaystyle c_{n}=\frac{\ln(a_{n})}{a_{n}}\) ein
2. Folgern Sie für \(n\gt 3\) dass \(\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \le \frac{2a_{n}}{(a_{n}-1)^2} \le \frac{7}{18}\)
2Folgern Sie für n≥3 \( \frac{cn+1}{cn} \) ≤\( \frac{2an}{(an-1)^2} \)≤7/18
Problem/Ansatz:
Also klar man kann a1 in f(an) einsetzten usw, aber irgendwie habe ich das Gefühl hier fehlen Informationen. Villeicht kann mir jemand helfen ?