Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen einer Matrix

Question

Aufgabe:

Seien
\(A_{1}:= \begin{pmatrix} -3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \)

und

\(A_{2}:=\begin{pmatrix} -3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}) \)

Untersuchen Sie, ob die zugehörigen Endomorphismen \( f_{i}: V_{3}(\mathbb{Q}) \rightarrow V_{3}(\mathbb{Q}), v \mapsto A_{i} v \) diagonalisierbar sind für \( i=1,2 \) und finden Sie in diesem Fall \( S_{i} \in \mathrm{GL}_{3}(\mathbb{Q}) \), sodass \( S_{i}^{-1} A_{i} S_{i} \) eine Diagonalmatrix ist.

Weil ich nicht weiß, ob ich es richtig gerechnet habe, dachte ich mir, dass ich euch um Hilfe bitte bzw. um Feedback. Hier meine Ergebnisse:

Ich habe rausbekommen, dass nur die 2-te Matrix Diagonalisierbar ist, weil die erste Matrix nur 2 Eigenwerte hat (1 und 2). Für den zweiten Teil müsste es dann einfach Eigenvektor ausrechnen und inverse der Matrix aus Eigenvektoren bestimmen sein, oder ?

Comments

Dass A₁ nur zwei Eigenwerte hat bedeutet noch nicht, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist (z.B. hat die Nullmatrix nur einen Eigenwert). Kann es sein, dass 2 und -1 die Eigenwerte sind?

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Es handelt sich um zwei gleiche Matrizen ...

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Tatsache! Das war mir nicht aufgefallen. Dann sind beide diagonalisierbar.

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\( A_1 \) ist hier falsch angegeben.

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Also zum ersten: Ich habe in meinen Unterlagen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie gleich viele Eigenwerte hat wie Zahlen- bzw. Spaltenlänge. Also sollte eine nxn - Matrix diagonalisierbar sein, wenn sie n Eigenwerte hat. Wir hatten noch was mit Basis aus Eigenvektoren, aber alles als äquivalent geschrieben.

Zum zweiten: Das hab ich gar nicht bemerkt, sorry. da ist was bei kopieren falsch gelaufen :D. Hier die richtige Matrix:

0  1  0

-7  6 -2

-8  5  -2

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Ich habe in meinen Unterlagen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie gleich viele Eigenwerte hat wie Zahlen- bzw. Spaltenlänge. Also sollte eine nxn - Matrix diagonalisierbar sein, wenn sie n Eigenwerte hat.

Das ist richtig. Die Umkehrung gilt aber nicht. Eine nxn Matrix kann auch diagonalisierbar sein, wenn sie weniger als n paarweise verschiedene Eigenwerte hat.

Wichtig ist dann, dass die Eigenräume "groß genug" sind, s.d. man eben die Basis aus Eigenvektoren bekommt. Konkret muss für alle Eigenwerte die Dimension des zugehörigen Eigenraums (=geometrische Vielfachheit) der algebraischen Vielfachheit (Vielfachheit der Nullstelle im char. Poly.) entsprechen.

Das ist z.B. bei der nxn Einheitsmatrix der Fall. Diese hat nur den Eigenwert 1 mit algebraischen Vielfachheit n. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwert 1 ist aber auch n.

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Also ist es am Besten, zu zeigen, dass die Eigenvektoren eine Basis von V_{3}(Q) bilden ? Nach eurer Aussage sollte dass nämlich dann bedeuten, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Ansonsten haben wir erst etwas später mit der geometrischen Vielfachheit angefangen, also in unserer Definition nicht (bewusst) berücksichtigt