Zeige: f besitzt ein Minimum, falls lim x→±∞ f(x) = ∞

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine stetige Funktion. Zeige:
f besitzt ein Minimum, falls lim x→±∞ f(x) = ∞

Problem/Ansatz:

Ich verstehe was die Aufgabe will, aber wie soll ich das beweisen ? Muss ich es, anhand von allgemein mathematischen Sätzen beweisen, oder kann ich eine Funktion finden, die diesen Eigenschaften ensprechen ? Muss ich selbst ein Intervall finden, um zu zeigen, dass es ein Minimum besitzt ?

Vielen Dank !

Comments

Du hast die Antwort von M als beste markiert, deshalb die Warnung: Das ist keine Antwort, gefragt ist nach einem Beweis

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Du hast die Antwort von M als beste markiert, deshalb die Warnung: Das ist keine Antwort, gefragt ist nach einem Beweis

Bitte stelle eine Antwort bereit, mich interessiert der Beweis.

Answer 1

Es sei: \(f(x)=x^2\)

\( \lim\limits_{x\to\infty}x^2 \) die Funktion geht gegen \(+∞\)

\( \lim\limits_{x\to-\infty}x^2 \) die Funktion geht gegen \(+∞\)

Somit hat der Graph von \(f(x)=x^2\) ein Minimum und zwar bei \(N(0|0)\)

\(x\)	-5	-2	0	10
\( x^{2} \)	25	4	0	100

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Einen Daumen von mir für den Mut, seinen Namen unter so ein Machwerk zu setzen.

Answer 2

Sei

$$M:=\{x \in \R \mid f(x) \leq f(0)\}$$

Wegen der Stetigkeit von f ist M abgeschlossen.

M ist auch beschränkt. Denn sonst existiert eine Folge \((x_n)\) in M mit \(x_n \to \infty\) oder eine Folge mit \(x_n \to -\infty\). Wegen \(f(x_n) \leq f(0)\) wäre dies ein Widerspruch zur Konvergenz gegen \(\infty\).

Da M abgeschlossen und beschränkt ist, besitzt die stetige Einschränkung \(f:M \to \R\) ein Minimum. Dieses ist auch globales Minimum

Comments

Wieso ist das ein Beweis, falls M = ∅  ist ?

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0 ist in M, denke ich

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Das ist ein schlagendes Argument.