Poissonverteilung Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute mehr als 3 Fahrzeuge vorbeifahren?

Question

Hallo miteinader,

ich bin schon seit einigen Stunden dran das zu lösen, bin auch zu einem Ergebnis gekommen was leider laut Lösung nicht stimmt und bin jetzt leider am verzweifeln, ich bedanke mich für jede Hilfe im Voraus. Die Aufgabenstellung ist wie folgt:

Die Anzahl der Fahrzeuge, die einen Beobachtungspunkt innehrhalb eines Intervalls von einer Minute passieren, ist Poissonverteilt mit µ=1,6

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute mehr als 3 Fahrzeuge vorbeifahren

--> Ich hab das so berechnet: 1-Fx(3)=1-0,7192899948=0,28072. Jedoch steht in den Lösungen jetzt P(A)=0,0788, ich weiß einfach nicht wie ich drauf kommen soll.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 5 Minuten nicht mehr als 5 Fahrzeuge vorbeifahren, wenn die Ereignisse stochastisch unabhängig sind?

--> da hab ich zunächst µ=5*1,6=8 und dann: 8^1/1! *e^-8+...+8^5/5! *e^-8=0,1909005995. Laut Lösung 0,1912. Hier stimmt bei meiner rechnung die rundung nicht also ich würde dann auf 0,1910 praktisch kommen wenn ich runden würde.

Answer 1

Die Verteilungsfunktion F_μ (n) der Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von höchstens n Ereignissen an, wenn im Mittel μ Ereignisse zu erwarten sind.

Es gilt:

$${ F }_{ \mu  }(n)=\sum _{ k=0 }^{ n }{ { \frac { { \mu  }^{ k } }{ k! } { e }^{ -\mu  } } } ={ e }^{ -\mu  }\sum _{ k=0 }^{ n }{ { \frac { { \mu  }^{ k } }{ k! }  } }$$

Teil a) Ist die Anzahl der Fahrzeuge, die den Beobachtungspunkt pro Minute passieren, poissonverteilt mit μ = 1,6, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P ( A ) des Ereignisses A = "Es fahren in einer Minute mehr als 3 Fahrzeuge vorbei":

$$P(A)=1-{ F }_{ 1,6 }(3)=1-{ e }^{ -1,6 }\sum _{ k=0 }^{ 3 }{ { \frac { 1,6^{ k } }{ k! }  } } $$$$={ 1-e }^{ -1,6 }\left( \frac { { 1,6 }^{ 0 } }{ 0! } +\frac { { { 1,6 }^{ 1 } } }{ 1! } +\frac { { 1,6 }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { 1,6 }^{ 3 } }{ 3k! }  \right)$$$$=1-{ e }^{ -1,6 }\left( 1+1,6+1,28+0,682\overline { 6 }  \right)$$$$=1-{ e }^{ -1,6 }\left( 4,562\overline { 6 }  \right)$$$$=0,0788$$

Vermutlich hast du bei der Summenbildung den Fall k = 0 nicht berücksichtigt, hast also gerechnet:

$$P(A)=1-{ F }_{ 1,6 }(3)=1-{ e }^{ -1,6 }\sum _{ k=1 }^{ 3 }{ { \frac { 1,6^{ k } }{ k! }  } }$$$$={ 1-e }^{ -1,6 }\left( \frac { { { 1,6 }^{ 1 } } }{ 1! } +\frac { { 1,6 }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { 1,6 }^{ 3 } }{ 3k! }  \right)$$$$=0,2807$$

 

Dasselbe ist dir auch bei Teil b) passiert. Auch hier hast du bei der Summenbildung den Fall k = 0 nicht berücksichtigt. Führe deine Berechnung für k = 0 ...5 aus und du wirst das richtige Ergebnis erhalten.

Hinweise:
1,6 ⁰ = 1
0 ! = 1