Berechne die Inverse Matrix A-1 von A = \begin{pmatrix} 8 -\frac{1}{2} \end{pmatrix} .

Question

Aufgabe:

Berechne die Inverse Matrix A^-1 von A = \( \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 4 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand eventuell sagen, wo genau mein Fehler liegt? Ich forme oft um und bekomme am Ende aber ein anderes Ergebnis als die eigentliche Lösung.

\( \begin{pmatrix} 8 & -2  | 1 & 0 \\ 4 & \frac{-1}{2} | 0 & 1 \end{pmatrix} \)

= (I÷8)  \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4}  | \frac{1}{8} & 0 \\ 4 & -\frac{1}{2} |0 & 1 \end{pmatrix} \)

= (II-I·4) \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4}  | \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} |-\frac{1}{4} & 1 \end{pmatrix} \)

= (II·2) \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4}  | \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 1 |-\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix} \)

= (I-II·(-\(\frac{1}{4}\))) \( \begin{pmatrix} 1 & 0  | 0 & 0 \\ 0 & 1 |-\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix} \)

A^-1 = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \frac{-1}{2} & 2 \end{pmatrix} \)

Die richtige Lösung ist aber A^-1 = \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{8} & \frac{1}{2} \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \).

Comments

Nach dem 2. Gleichheitszeichen muss es in der rechten Matrix ,-1/2 statt -1/4 heißen

Answer 1

= (II-I·4) \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4}  | \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} |-\frac{1}{4} & 1 \end{pmatrix} \)

muss wohl sein

= (II-I·4) \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4}  | \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} |-\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \)

= (II·2) \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4}  | \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 1 |-1 & 2 \end{pmatrix} \)

Answer 2

Tipp: bis zum Schluss ganzzahlig bleiben:

Multiplikation der 2-ten Zeile mit 2:

\(\left(\begin{array}{rr|rr}8&-2&1&0\\8&-1&0&2\end{array}\right)\sim\quad \) Nun II - I:

\(\left(\begin{array}{rr|rr}8&-2&1&0\\0&1&-1&2\end{array}\right)\sim\quad \) Nun I +2*II:

\(\left(\begin{array}{rr|rr}8&0&-1&4\\0&1&-1&2\end{array}\right)\sim\quad \) Zeile I durch 8:

\(\left(\begin{array}{rr|rr}1&0&-1/8&1/2\\0&1&-1&2\end{array}\right)\)