Logarithmusfunktion mit ln(x) richtig ausrechnen

Question

Hallo zusammen! Ich verstehe nicht, wie man von der vorletzten auf die letzte Zeile kommt - könnte mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank!

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \text { (b) } & 4^{x}-4^{x-1}=3^{x+1}-3^{x} \\ \Leftrightarrow & 4^{x}\left(1-4^{-1}\right)=3^{x}(3-1) \quad 3^{x} \cdot 2 \quad \mid \cdot \ln \\ \Leftrightarrow & 4^{x} \cdot \frac{3}{4} \text { gameineameram asklammen } \\ \Leftrightarrow & \ln \left(4^{x} \cdot \frac{3}{4}\right)=\ln \left(3^{x} \cdot 2\right) \\ \Leftrightarrow & x=\frac{\ln \left(\frac{8}{3}\right)}{\ln \left(\frac{4}{3}\right)}\end{aligned} \)

Answer 1

\(4^x-4^{x-1}=3^{x+1}-3^x\)

\(4^x-\frac{4^x}{4}=3^{x}*3-3^x\)

\(4*4^x-4^x=12*3^{x}-4*3^x\)

\(4*4^x-4^x=8*3^{x}\)

\(4^x*(4-1)=8*3^{x}\)

\(3*4^x=8*3^{x}\)

\( \frac{4^x}{3^x}=\frac{8}{3} \)

\( (\frac{4}{3})^x=\frac{8}{3} \)

\(x*ln(\frac{4}{3})=ln(\frac{8}{3})\)

\(x= \frac{ln(\frac{8}{3})}{ln(\frac{4}{3})} \)

Answer 2

Ich würde erst ganz am Ende den ln nehmen.

4^x*3/4 = 3^x*2

(4/3)^x = 8/3

x= ln(8/3)/ln(4/3)  = (ln8-ln3)/(ln4-ln3)

Comments

Was genau hast du in den einzelnen Schritten gerechnet?

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Beide Seiten durch 3^x teilen, 4 nach rechts schaffen

a^x/b^x = (a/b)^x benutzt, dann ln drauf losgelassen.

Answer 3

Da die bisherigen Antworten nicht auf deine Frage eingehen, schreib ich doch noch was:

\(\ln(4^x\cdot \frac 34) = x\ln 4 + \ln \frac 34 = x\ln 4 + \ln 3 - \ln 4\)

\(\ln(3^x\cdot 2) = x\ln 3 + \ln2\)

D.h.,
\( x\ln 4 + \ln 3 - \ln 4 = x\ln 3 + \ln2\)

x auf eine Seite bringen:

\(x(\ln 4-\ln 3) = \ln2 + \ln 4 - \ln 3\)

Logarithmengesetze der Multiplikation/Division nochmal anwenden:

\(x\ln \frac 43 = \ln8 - \ln 3 = \ln \frac 83\)

Jetzt müsste es klar sein.