Aloha :)
Zur Beschreibung der Menge$$M=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\;\big|\;\red{x^2+y^2+z^2\le4}\;\land\;\green{z\ge0}\,\land\;\blue{x^2+y^2\le z^2}\}$$in Kugelkoordinaten$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\;;\;r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$müssen die Intervalle für die Variablen \((r;\varphi;\vartheta)\) so eingeschränkt werden, dass sie alle 3 Bedingungen, die an Punkte der Menge \(M\) gestellt werden, erfüllen.
Die rote Bedingung schränkt uns den Radius \(r\) ein:$$\red{x^2+y^2+z^2\le4}\implies r^2\le4\implies r\le2\implies \red{r\in[0;2]}$$
Für \(r=0\) ist die grüne Bedingung \(\green{z\ge0}\) erfüllt. Für \(r>0\) schränkt uns die grüne Bedingung aber den Azimuth-Winkel \(\vartheta\) ein:$$\green{z\ge0}\implies r\cos\vartheta\ge0\stackrel{(r>0)}{\implies}\cos\vartheta\ge0\implies\green{\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]}$$
Für \(r=0\) ist auch die blaue Bedingung \(\blue{x^2+y^2\le z^2}\) erfüllt. Für \(r>0\) schränkt sie uns den Azimuth-Winkel \(\vartheta\) aber weiter ein:$$\blue{x^2+y^2\le z^2}\implies r^2\sin^2\vartheta\le r^2\cos^2\vartheta\stackrel{(r>0)}{\implies}\sin^2\vartheta\le\cos^2\vartheta\stackrel{(\div\cos^2\vartheta)}{\implies}\tan^2\vartheta\le1$$$$\phantom{\blue{x^2+y^2\le z^2}}\!\!\stackrel{(\green{\vartheta\in[0;\frac\pi2]})}{\implies}\tan\vartheta\le1\stackrel{(\green{\vartheta\in[0;\frac\pi2]})}{\implies}\blue{\vartheta\in\left[0;\frac\pi4\right]}$$
Damit sind die Integrations-Intervalle klar und zusammen mit dem Volumenelement$$dV=r^2\sin\vartheta\;dr\;d\varphi\;d\vartheta$$in Kugelkoordinaten kannst du das Volumen-Integral formulieren:$$V=\int\limits_MdV=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=\int\limits_{r=0}^2r^2\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}\sin\vartheta\,d\vartheta$$
Die Integrale sind alle sehr einfach zu berechnen. Zur Kontrolle:$$V=\frac83\cdot2\pi\cdot\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac83\pi(2-\sqrt2)$$