Globale Extremwerte und Bereichsintegrale

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x,y) = x² - 3y + y².

a) Bestimmen Sie die absoluten Extremwerte der Funktion f auf dem Bereich

R = {(x, y) ∈ R² | −1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2}.

b) Es sei R der Bereich aus Teil (a). Berechnen Sie das Bereichsintegral \( \iint_{R} f(x, y) d x d y \).

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man diese Aufgaben ohne während der Rechnungen durcheinander zu kommen? bin leider dezent verwirrt wie ich es angehen soll, wäre sehr lieb wenn jemand hierzu anschauliche Lösungswege/Rechenwege hat. MfG

Answer 1

x² - 3y + y² kann mit quadratischer Ergänzung als x²+(y-1,5)²-2,25 geschrieben werden. Das wird minimal, wenn die beide Quadrate 0 werden.

Comments

Jetzt fehlt aber noch die Ermittlung des Maximalwertes auf dem Rand von R.

... um wenigstens Teil a) komplett zu haben als "Antwort" :-) :

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Es ist doch schon rein anschaulich klar, dass die größen Werte in den beiden der 4 Ecken liegen, die am weitesten von der Stelle (0; 1,5) entfernt sind.

Man kann natürlich auch standardmäßig die 4 Ränder mit jeweils konstantem x bzw. y abfahren.

PS: Außerdem isr klar, dass - 3y + y² zwischen 0 und 3 negativ ist.

Maximalwerte dieses Terms gibt es also nur für y=0, weil da - 3y + y² nicht negativ, sondern wenigstens 0 ist. Und der Summand x² ist maximal für -1 und 1.

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ich werde leider nicht schlau aus dieser erklärung, wie sähe das denn darstellerisch alles aus?

Answer 2

Aloha :)

Wenn du die Funktionsgleichung etwas umformst$$f(x;y)=x^2-3y+y^2=\left(y^2-3y\pink{+\frac94}\right)+\left(x^2\pink{-\frac94}\right)=\left(y-\frac32\right)^2+\left(x^2-\frac92\right)$$erkennst du sofort, dass der erste Term für \(y=\frac32\) und der zweite Term für \(x=0\) minimal werden. Nach oben hin wächst die Funkton unbeschränkt.

Es gibt als ein globales Minimum bei \(\pink{\text{Min}(0\big|\frac32)}\) mit \(f_{\text{min}}=-\frac94\).

Wegen der Randbedingungen \(x\in[-1;1]\) und \(y\in[0;2]\) können sich jedoch auf den Rändern noch sogenannte Randextrema befinden.

1. Fall: Für \((x=\pm1)\) lautet die Funktionsgleichung:$$f(\pm1;y)=\left(y-\frac32\right)^2-\frac72$$Wegen \(y\in[0;2]\) ist das Quadrat für \(y=0\) und damt auch der Funktionswert maximal.

Es gibt Rand-Maxima bei \(\pink{\text{Max}(\pm1|0)}\) mit \(f_{\text{max}}=1\).

2. Fall: Für \((y=2)\) lautet die Funktionsgleichung:$$f(x;2)=x^2-2$$Bei \(x=0\) hat \(f(x;2)\) ihren Minimalwert \((-2)\), es liegt aber kein Minimum vor, weil das globale Minimum \((-\frac94)\) darunter liegt.

Für \(x=\pm1\) haben wir jedoch auch hier wieder Rand-Maxima vorliegen:

Es gibt Rand-Maxima bei \(\pink{\text{Max}(\pm1|2)}\) mit \(f_{\text{max}}=-1\).

3. Fall: Für \((y=0)\) lautet die Funktionsgleichung:$$f(x;0)=x^2$$Auch hier hat bei \(x=0\) die Funktion \(f(x;0)\) ihren Minimalwert \(0\), aber auch dieser liegt oberhalb des globalen Minimums \((-\frac94)\). Für \(x=\pm1\) ist die Funktion \(f(x;0)\) maximal, aber die beiden resultierenen Rand-Maxima haben wir schon im 1. Fall gefunden.

Wir haben also an den äußersten 4 Punkten des Definitionsbereichs Rand-Maxima und innerhalb des Definitionsbereichs das globale Minimum.

Das Integral kannst du wie folgt formulieren:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=0}^2(x^2-3y+y^2)\,dx\,dy$$Die Integrationsreihenfolge ist egal.

Ich muss jetzt zum Tanzen... Kriegst du das Integral alleine hin?