Aloha :)
Du brauchst die Stetigkeit der Funktion an der Stelle \(x_0=0\) nicht vorab zu zeigen, denn aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit. Es reicht also völlig aus, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bestimmen:$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x}{\ln(1+x)}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1}{\ln(x+1)}-\frac1x\right)$$
Wir bringen beide Brüche auf den Hauptnenner. Dann konvergieren Zähler und Nenner unabhängig voneinander gegen \(0\) und wir dürfen die Regel von L'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\ln(x+1)}{x\cdot\ln(x+1)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{x+1}}{\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{x+1}}{\ln(x+1)+\left(1-\frac{1}{x+1}\right)}$$Offensichtlich gehen Zähler und Nenner immer noch beide gegen Null, also muss der Patient nochmal ins Krankenhaus. Damit das Ableiten einfacher wird, habe ich extra den zweiten Bruch im Nenner so umgeformt, dass man erkennt, dass er gleich dem Zähler ist:$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{(x+1)^2}}{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}}=\frac{\frac{1}{(0+1)^2}}{\frac{1}{0+1}+\frac{1}{(0+1)^2}}=\frac{1}{1+1}=\frac12$$
Die Funktion ist also bei \(x_0=0\) differenzierbar und es gilt: \(f'(0)=\frac12\).
