Direkte Summe zweier Untervektorräume = R4

Question

Aufgabe:

Wir haben v= (1,0,2,2),w=(0,1,1,−1) ∈ℝ⁴, und e = (e1,e2,e3,e4) als die standardbasis von ℝ4

Nun muss ich zeigen für U₁ := span(e1,e2) und U₂ := span(v,w) git die Gleichheit U₁ ⊕ U₂ = ℝ⁴.

⊕ Ist hierbei die direkte Summe von U1 und U2. Und definiert als linAbbildung f: U1 Χ U2 → R4 mit (u1,u2)↦u1+u2. Und wenn f injektiv ist, ist die Summe direkt.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, jeweils e1+v und e1+u und e2+v und e2+u zu berechnen und zeigen, dass diese 4 Vektoren linear unabhängig sind. Dies ist jedoch nicht der Fall.

Wie sollte ich denn an diese Aufgabe herangehen?

Oder reicht es einfach zu zeigen, dass die Vektoren aus U1 und U2 zusammen linear unabhängig sind und dann noch zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem von R⁴ bilden?

Answer 1

Zeige dass {v, w, e₁, e₂} eine Basis von ℝ⁴ ist.

Comments

Danke Oswald:) Genau das ist mir nur viel zu einfach erschienen weshalb ich mir das nicht vorstellen konnte. Danke :D

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Ist {v, w, e₁, e₂} linear unabhängig, dann sind in

        x = αv + βw + γe₁ + δe₂

die Koeeffizienten α, β, γ und δ eindeutig bestimmt. Wäre f nicht injektiv, dann müsste es u₁ = γ'e₁ + δ'e₂ und u₂ = α'v + β'w mit x = u₁ + u₂ und (γ', δ') ≠ (γ, δ) oder (α', β') ≠ (α, β) geben. Wegen der Linearen Unabhängigkeit ist das aber ausgeschlossen.

Ist {v, w, e₁, e₂} ein Erzeugendensystem von ℝ⁴, dann gibt es zu jedem x ∈ ℝ⁴ geeignete α, β, γ, δ. Dabei ist αv + βw ∈ U₂ und γe₁ + δe₂ ∈ U₁.

Deshalb genügt es, zu zeigen, dass {v, w, e₁, e₂} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von ℝ⁴ ist.

Answer 2

Es reicht zu zeigen, dass \(\{v,w,e_1,e_2\}\) eine linear unabhängige Menge ist.

Comments

Danke dir für deine Antwort. Doch weshalb müssen wir nicht noch zeigen, dass die Vektoren ein EZS bilden? Liegt es daran, weil sie bereits Untervektorräume bilden von R4?

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\(n\) linear unabhängige Vektoren erzeugen einen

\(n\)-dimensionalen Unterraum. In unserem Falle ist \(n=4\).

Wenn \(U\) Unterraum von \(V\) ist und \(\dim(U)=\dim(V)\)

gilt, ist \(U=V\).

Answer 3

U1 ⊕ U2 = ℝ⁴. Bedeutet doch erstmal : Jedes Element von R^4 lässt sich als

Summe von einen p aus U1 und einem q aus U2 darstellen.

Sei also \(  x=  \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \in R^4 \), dann bestimme

r,s,t,u   aus ℝ mit re₁ + se₂ + tv + uw = x

Das gibt \(  x= (a-\frac{c+d}{4})e_1+ (b-\frac{c-d}{2})e_2+ \frac{c+d}{4}e_3+ \frac{c-d}{2}e_1 \)

Dabei ergeben ja die ersten beiden Summanden das gesuchte p und die anderen das q.

Also ist  ℝ⁴  jedenfalls gleich der Summe von U1 und U2.

Und die Summe ist direkt, wenn der 0-Vektor das einzige Element ist,

das U1 und U2 gemeinsam haben (Dann ist deine oben gegebene Abbildung

injektiv; denn Kern={0}.) #

Die Elemente von U1 sind alle von der Form   \(    \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}  \)

Wenn so eines auch in U2 ist, muss gelten: Es gibt a,b,x,y ∈ℝ mit

\(    \begin{pmatrix} a\\b\\0\\0 \end{pmatrix}  = x\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}\)

also x=a und y=b und 2x+y=0 und 2x-y=0 , also i,d.Tat a=b=x=y=0.

Somit # erfüllt.