Geraden und Vektoren: lineare abhängigkeit+ Schnittpunkt...

Question

Aufgabe: Geraden und Vektoren

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AUEGABE 8
Gegeben sind die Punkte \( P(2|-1| 3), Q(6|-3| 9) \) sowie die Vektoren \( \overrightarrow{a_{t}}=\left(\begin{array}{c}1-t \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{b_{t}}=\left(\begin{array}{c}8 \\ -2 \\ t\end{array}\right)(t \in \mathbb{R}) \).
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren \( \overrightarrow{a_{t}} \) und \( \overrightarrow{b_{t}} \) für alle reellen Zahlen \( t \) linear unabhängig sind.
e) Berechnen Sie die Schnittpunkte \( T_{1} \) und \( T_{2} \) der
b) Weisen Sie nach, dass die Gerade durch die Geraden durch die Punkte \( P \) und \( Q \) mit der KuPunkte \( P \) und \( Q \) mit der Schar der Ursprungsgegel \( K \). Ermitteln Sie je eine Gleichung der Tanraden mit dem Richtungsvektor \( \overrightarrow{b_{t}} \) stets den selgentialebenen an die Kugel \( K \) in den Schnittben Schnittpunkt hat. punkten.)
c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Gera-
f) Zur \( x_{1} x_{2} \)-Ebene parallele Ebenen schneiden die den \( g \) und \( h \), die durch den Punkt \( P \) und den Vek- \( \quad \) Schnittkreis den Mittelpunkt \( M(2|-1| d) \) und den tor \( \overrightarrow{a_{2}} \) bzw. den Punkt \( Q \) und den Vektor \( \overrightarrow{b_{2}} \) beRadius 2?) stimmt werden. (Berechnen Sie gegebenenfalls
g) Geben Sie eine Gleichung einer Ebene \( F \) an, so ihren Abstand.) dass die Punkte \( P \) und \( Q \) spiegelbildlich zur Ebe-
(d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel \( K \) mit dem Mittelpunkt \( P \), die durch den Koordinatenursprung geht. ne \( F \) liegen.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes \( R \) der \( x_{1} x_{2} \)-Ebene an, für den der Umfang aller gleichschenkligen Dreiecke \( P Q R \) mit der Basis \( \overline{P Q} \) minimal wird.

Ich benötige Hilfe zu den Aufgaben a,b,c und g.

Answer 1

zu a)  Ansatz:

\( x\cdot \left(\begin{array}{c}1-t \\ 2 \\ 1\end{array}\right) +y\cdot \left(\begin{array}{c}8 \\ -2 \\ t\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\\ 0\end{array}\right)  \)

hat als einzige Lösung x=0 und y=0.

Dann sind sie lin. unabh. Und das ist hier so, denn es folgt ja

2x-2y=0  also x=y und aus der 3. Zeile x+ty=0 also x+tx=0

das gibt außer für t=-1 immer x=0 und wegen x=y auch y=0.

Im Falle t=-1 gibt die erste Zeile 2x+8y=0 also 10x=0 also x=0.

Somit immer nur (x,y)=(0,0) einzige Lösung.

b)   \( P(2|-1| 3), Q(6|-3| 9) \)  bestimmen die Gerade

\(  g: \vec{x}= \left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) +s \cdot \left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ 6\end{array}\right)   \)

Die  Schar der Ursprungsgeraden mit dem Richtungsvektor \( \overrightarrow{b_{t}} \)

ist  \(  h_t : \vec{x}=r \cdot \left(\begin{array}{c}8 \\ -2 \\ t\end{array}\right)  \)

und dann Gleichsetzen gibt r=0, also immer der gleiche SP.