Geraden: m:X = (2/-1) + t (-1/1), n: X =( -1/2) + s(1/-2). Schnittpunkt und gegenseitige Lage?

Question

Folgendes Beispiel:

Durch die folgenden Parameterdarstellungen sind zwei Geraden angegeben:

m:X = ( 2/ -1) + t ( -1/1)
n: X = ( -1/2) + s ( 1 / -2)

a.) Beschreiben Sie die gegenseitige Lage und berechnen Sie, wenn möglich - den Schnittpunkt.

b.) Überprüfen Sie, ob der Punkt P = ( 1/0) auf der Geraden m liegt.

Mein Lösungsansatz:

m mit n schneiden:

2- 1t = -1 + 1s
- 1 + 1t= 2 - 2s
-1 = 1- 1s / -1
-2 = 1s / : 1
s= -2
( -1/2) + ( -2) * ( 1/ -2) = S = ( -1/2)

Ich weiß nicht, wie die gegenseitige Lage gemeint ist, und wie ich prüfen kann, ob der Punkt P aus der Geraden m liegt. Ich denke, dass ich den Punkt P ( 1/0) in m einsetze:

m: X = ( 2-1) + t * ( 1/0)

Aber dann was?

Answer 1

Hi,

bei "Lage von Geraden (in 2D)" ist gemeint:

parallel, identisch oder schneidend.

 

Da die Richtungsvektoren unterschiedlich sind und auch nicht voneinander abhängig, ist das der schneidende Fall. Deswegen werden wir auch sogleich einen Schnittpunkt finden.

Dein Ansatz ist dabei nur halbrichtig.

Deine erste Gleichung ist korrekt: 2- 1t = -1 + 1s

Aber im Verlauf lässt Du auf einmal das t iwann veschwinden ;).

Generell gilt ohnehin -> Zwei Unbekannte zwei Gleichungen.

Die zweite Gleichung lautet: -1+t=2-2s

 

2-t=-1+s     -> 3-t=s

-1+t=2-2s

 

Ersteres in letzteres:

-1+t=2-2(3-t)

-1+t=2-6+2t

-1+t=-4+2t   |+4-t

t=3

 

Damit wieder in s=3-t=3-3=0

 

Es ist also s=0 und t=3.

Der Schnittpunkt ist also bei S=(-1|2) zu finden.

 

b)

Ob der Punkt (1|0) auf der Geraden m liegt, finden wir heraus, wenn wir das gleichsetzen:

(1/0)=( 2/ -1) + t ( -1/1)

Also wieder zwei Gleichungen aufstellen und schauen, ob es für diese zwei Gleichungen ein gemeinsames t gib.

1=2-t

0=-1+t -> t=1

 

Wenn wir t=1 in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir 1=2-t=2-1=1

 

Der Punkt P liegt also auf der Geraden m :).

 

Grüße

Comments

Hab gerade etwas gesehen:

1 = 2 - t
0 = -1 + t

Ergibt doch:


1= 1?

t kürzt sich doch weg?

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Wieso soll sich denn t wegkürzen?

Du nimmst Dir als erstes die zweite Gleichung her:

0=-1+t -> t=1


Dieses t muss nun auch die erste Gleichung lösen. Nur dann ist P ein Punkt, der auf m liegt.

1=2-t=2-1=1

erfüllt diese Bedingung.

Answer 2

Ich weiß nicht, wie die gegenseitige Lage gemeint ist, und wie ich prüfen kann, ob der Punkt P aus der Geraden m liegt.

Wenn du einen eindeutigen Schnittpunkt berechnet hast, ist die gegenseitige Lage:

'sich schneidend'

Das siehst du schon daran, dass die beiden Richtungsvektoren nicht parallel zueinander verlaufen. (i.e. keine Vielfachen voneinander sind).

Comments

Oh okay :)
Könntest du nachsehn, ob der Schnittpunkt richtig berechnet ist?

Und wie mache ich das jetzt mit Punkt P = ( 1/0)

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Unknown hat das bereits gerechnet.