Darstellung von drei Ebenen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden drei Ebenen:

\( \begin{array}{c} E_{1}: x=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \\\\ E_{2}:\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid\left<\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right),\,x-\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\right>=0\right\} \\\\ E_{3}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=3\right\} \end{array} \)

Arbeitsauftrag 54 Darstellungen wechseln

a) Stellen Sie die Ebene \( E_{1} \) in Hessescher Normalform dar.

b) Stellen Sie die Ebene \( E_{3} \) durch Aufpunkt und Richtungsvektoren dar.

Arbeitsauftrag 55 Abstände bestimmen

a) Berechnen Sie die Abstände von \( u=(-1,-1,2) \) zu den drei Ebenen.

Problem/Ansatz:

Bei der 55 a) brauche ich da die Lotfußpunktmethode?

Und wenn ja in welcher Form brauche ich die 3 Ebenen am besten um den Abstand zu einem Punkt zu berechnen

Comments

Bei Ebene \(E_2\) ist unklar, was das bedeutet:$$E_{2}:\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid<\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right),\space {\color{red}x-\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\ge 0}\right\} $$rechts von \(\ge \) steht eine Zahl und links eine Vektor \(\in\mathbb{R}^3\). Ein Vektor kennt keinen Relation \(\ge\) und mit einer Zahl schon gar nicht.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir bestimme den Normalenvektor der Ebene$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+1\\2-0\\0+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}=\sqrt8\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\implies\vec n_0=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}$$Den auf die Länge \(1\) normierten Normalenvektor \(\vec n^0\)  multiplizieren wir mit \(\vec x\). Da der Normalenvektor senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren steht, ist sein Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren gleich Null. Es reicht daher, das Skalarprodukt von \(\vec n_0\) mit dem Ortsvektor des Ankerpunktes zu bestimmen:$$\vec n_0\cdot\vec x=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$$Die Ebenengleichung in Hessescher Normalform lautet also:$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\cdot\vec x-\sqrt2=0$$

zu b) Stelle die Ebenengleichung für \(E_3\) nach einer Komponente um:$$2x_1+2x_2-2x_3=3\quad\implies\quad x_3=-\frac32+x_1+x_2$$und schreibe alle Vektoren auf, die diese Gleichung erfüllen:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-\frac32+x_1+x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac32\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Mit Ankerpunkt und Richtungsvektoren lautet die Ebenengleichung also:$$E_3\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac32\end{pmatrix}+\mathbb R\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\mathbb R\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

zu 55a) Zur Abstandsberechnung brauchst du den Punkt \(U(-1|-1|2)\) nur in die Hess'sche Normalform einzusetzen. Wichtig dabei ist, dass der Normalenvektor auf die Länge \(1\) normiert ist. Der Betrag des Ergebnisses ist dann der Abstand des Punktes \(U\) von der Ebene:

$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\cdot\vec x-\sqrt2=0\quad\implies\quad d=\frac{1}{\sqrt2}$$$$E_2\colon\;\frac{1}{\sqrt{35}}\left(\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\vec x-1\right)=0\quad\implies\quad d=0$$$$E_3\colon\;\frac{1}{\sqrt{12}}\left(\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\vec x-3\right)=0\quad\implies\quad d=\frac{11}{\sqrt{12}}$$

Comments

Danke übrigens. Kannst du mir vielleicht noch erklären was für eine Form E2 hat?

Bzw was < und > da bedeuten?

LG

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Das was zwischen <  > steht, soll sicher "Skalarprodukt" bedeuten.

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Achso jetzt macht das sinn, danke

Answer 2

Bei der 55 a) brauche ich da die Lotfußpunktmethode?

Nein, du darfst auch andere Methoden verwenden.

in welcher Form brauche ich die 3 Ebenen am besten um den Abstand zu einem Punkt zu berechnen

Am besten Hessesche Normalform

        \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4 = 0\).

Dann ist

        \(|a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4|\)

der Abstand des Punktes \((x_1|x_2|x_3)\) zur Ebene.