Darstellung von drei Ebenen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden drei Ebenen:

$\begin{array}{c} E_{1}: x=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \\\\ E_{2}:\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid\left<\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right),\,x-\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\right>=0\right\} \\\\ E_{3}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=3\right\} \end{array}$

Arbeitsauftrag 54 Darstellungen wechseln

a) Stellen Sie die Ebene $E_{1}$ in Hessescher Normalform dar.

b) Stellen Sie die Ebene $E_{3}$ durch Aufpunkt und Richtungsvektoren dar.

Arbeitsauftrag 55 Abstände bestimmen

a) Berechnen Sie die Abstände von $u=(-1,-1,2)$ zu den drei Ebenen.

Problem/Ansatz:

Bei der 55 a) brauche ich da die Lotfußpunktmethode?

Und wenn ja in welcher Form brauche ich die 3 Ebenen am besten um den Abstand zu einem Punkt zu berechnen

Comments

Bei Ebene $E_2$ ist unklar, was das bedeutet:$$E_{2}:\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid<\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right),\space {\color{red}x-\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\ge 0}\right\}$$rechts von $\ge$ steht eine Zahl und links eine Vektor $\in\mathbb{R}^3$. Ein Vektor kennt keinen Relation $\ge$ und mit einer Zahl schon gar nicht.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir bestimme den Normalenvektor der Ebene$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+1\\2-0\\0+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}=\sqrt8\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\implies\vec n_0=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}$$Den auf die Länge $1$ normierten Normalenvektor $\vec n^0$  multiplizieren wir mit $\vec x$. Da der Normalenvektor senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren steht, ist sein Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren gleich Null. Es reicht daher, das Skalarprodukt von $\vec n_0$ mit dem Ortsvektor des Ankerpunktes zu bestimmen:$$\vec n_0\cdot\vec x=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$$Die Ebenengleichung in Hessescher Normalform lautet also:$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\cdot\vec x-\sqrt2=0$$

zu b) Stelle die Ebenengleichung für $E_3$ nach einer Komponente um:$$2x_1+2x_2-2x_3=3\quad\implies\quad x_3=-\frac32+x_1+x_2$$und schreibe alle Vektoren auf, die diese Gleichung erfüllen:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-\frac32+x_1+x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac32\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Mit Ankerpunkt und Richtungsvektoren lautet die Ebenengleichung also:$$E_3\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac32\end{pmatrix}+\mathbb R\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\mathbb R\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

zu 55a) Zur Abstandsberechnung brauchst du den Punkt $U(-1|-1|2)$ nur in die Hess'sche Normalform einzusetzen. Wichtig dabei ist, dass der Normalenvektor auf die Länge $1$ normiert ist. Der Betrag des Ergebnisses ist dann der Abstand des Punktes $U$ von der Ebene:

$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\cdot\vec x-\sqrt2=0\quad\implies\quad d=\frac{1}{\sqrt2}$$$$E_2\colon\;\frac{1}{\sqrt{35}}\left(\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\vec x-1\right)=0\quad\implies\quad d=0$$$$E_3\colon\;\frac{1}{\sqrt{12}}\left(\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\vec x-3\right)=0\quad\implies\quad d=\frac{11}{\sqrt{12}}$$

Comments

Danke übrigens. Kannst du mir vielleicht noch erklären was für eine Form E2 hat?

Bzw was < und > da bedeuten?

LG

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Das was zwischen <  > steht, soll sicher "Skalarprodukt" bedeuten.

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Achso jetzt macht das sinn, danke

Answer 2

Bei der 55 a) brauche ich da die Lotfußpunktmethode?

Nein, du darfst auch andere Methoden verwenden.

in welcher Form brauche ich die 3 Ebenen am besten um den Abstand zu einem Punkt zu berechnen

Am besten Hessesche Normalform

        $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4 = 0$.

Dann ist

        $|a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4|$

der Abstand des Punktes $(x_1|x_2|x_3)$ zur Ebene.