Bestimmen sie a und b so, dass die Parabel w = a×x²+b Kf in den Schnittpunkten mit der x-Achse rechtwinklig schneidet .

Question

Hallo, zusammen .

Ich brauche für folgende Aufgabe Hilfe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= 16/x² +4.

Ihr Schaubild sei Kf .

a) Kf hat Asymtoten, Bestimmen sie.

b) Für welchen x-Wert ist der Abstand von Kf zur waagerechten Asymtote kleiner als 0,01

c) Bestimmen sie a und b so, dass die Parabel w = a×x²+b Kf in den Schnittpunkten mit der x-Achse rechtwinklig schneidet .

Also ich hab a)  denke ich mal gelöst .

X=0 und Y=-4.

Und b hab ich versucht zu lösen indem ich f(x)=0,01 gesetzt habe und nach x aufgelöst habe , da kamen die x-Werte ±1,9975.

Ist das richtig ?

Und um c zu lösen habe ich keinen Lösungsansatz ich weiß ehrlich gesagt nicht mal eine Bedingung .

Danke schonmal für zukünftige Antworten und Grüße.

Answer 1

Hallo,

Gegeben ist die Funktion f(x)= 16/x² +4.
Also ich hab a)  denke ich mal gelöst .  X=0 und Y=-4.

Ich glaube, Du hast Dir noch nicht mal den Graph der Funktion angesehen - oder? \(f\) kann nicht kleiner werden als \(4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=+4\). \(K_f\) nähert sich für \(|x| \gt 40\) mehr als \(0,01\) an die Asymptote an.

(c) Wähle einen Wert \(x_0\) und berechne dort den Funktionswert und die Steigung von \(f\)$$f(x_0) = \frac{16}{x_0^2} + 4 \\ f'(x_0) = -\frac{32}{x_0^3}$$Damit sind ein Punkt und die lokale Steigung gegeben. Da Du für die Parabel zwei Freiheitsgrade hast - die Paranter \(a\) und \(b\) - kannst Du diese so bestimmen, dass die Parabel die Funktion \(f\) dort rechtwinklig schneidet.$$w(x_0) = ax_0^2 + b = f(x_0) = \frac{16}{x_0^2} + 4 \\ w'(x_0) = 2ax_0 = -\frac{1}{f'(x_0)} = \frac{x_0^3}{32}$$aus der zweiten Gleichung folgt$$a = \frac{x_0^2}{64}$$und wenn man dies in die erste Gleichung einsetzt, lässt sich \(b\) isolieren$$b = \frac{16}{x_0^2} + 4 - \frac{x_0^4}{64}$$das folgende Bild zeigt dies. \(K_f\) ist rot und der Graph von \(w\) blau gezeichnet.

https://www.desmos.com/calculator/o5p9thua5g

Den Punkt \((x_0|\,f(x_0))\) auf \(K_f\) kann man mit der Maus verschieben.

Gruß Werner

Comments

c) Bestimmen sie a und b so, dass die Parabel w = a×x²+b Kf in den Schnittpunkten mit der x-Achse rechtwinklig schneidet .

ich habe das erst für einen Schreibfehler gehalten. Kann es sein, dass \(f\) so lautet:$$f(x)= \frac{16}{x^2} {\color{red}-} 4$$??

Dann wäre \(x_0\) mit \(x_0=2\) fest - der Rechenweg ist der gleiche wie oben

https://www.desmos.com/calculator/6nkd2lcjfw

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Ah, meine Schuld ich hab die Funktion falsch eingetippt , es ist:

f(x)=16/ײ -4

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Ah jetzt hab ichs kapiert man bestimmt also die Steigung von den beiden Funktionen und diese müssen multipliziert -1 ergeben und dass ist die Bedingung .

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Was ist mit dem Aufgabenteil a und b ? Sind die richtig?

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Was ist mit dem Aufgabenteil a und b ? Sind die richtig?

immer noch nicht den Graphen angeschaut? a) ist richtig. Die Funktion \(f\) hat einen Pol bei \(x=0\) und eine waagerechte Asymptote \(y=-4\)

b) ist natürlich nicht richtig - schau bitte mal auf den Graphen!

Gefragt ist nach "dem Abstand von Kf zur waagerechten Asymtote" und nicht nach dem Abstand zur X-Achse. Sei \(a_{s}\) die waagerechte Asymptote, so ist ihr vertikaler Abstand \(d\) zu \(f\):$$d=|f(x) - a_s(x)|\quad\quad a_{s}(x)=-4$$und aus der Forderung \(d<0,01\) folgt dann$$d=\left|\frac{16}{x^2}-4 - (-4)\right| \lt \frac{1}{100}\\\implies \frac{4}{|x|}\lt \frac{1}{10} \implies |x| \gt 40$$

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Ok vielen Dank.

Sie waren mir eine große Hilfe.