Richtungsableitung sowie maximaler Anstieg bestimmmen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Den Anfang der Lösung hatte ich genauso. Leider verstehe ich nicht wie die bei v= a/||a|| auf die 1/\( \sqrt{3} \) (1,1,1) gekommen sind. Die (1,1,1) ist der Vektor a ja, aber wie kommen die plötzlich auf die Wurzel?

Und in der letzten Zeile, wo kommt die 1/2 her?

Danke euch

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Richtungsableitung kannst du den Gradienten im Punkt \(P(0|3|2)\) mit der gewünschten Richtung \(\vec a^0\) multiplizieren. Richtung bedeutet, dass der Vektor die Länge \(1\) haben muss. Daher muss der Vektor \(\vec a=(1;1;1)^T\) durch seine Länge \(\sqrt{3}\) dividiert werden.

Die \(2\) in der letzten Zeile hat denselben Urpsrung. Um die Richtung des Vektors \((2;0;0)^T\) zu erhalten, muss er durch seine Länge \(2\) dividiert werden.

Comments

Ok danke. Eine Nachfrage: Wieso ist die Länge von (1,1,1) =√3 und die von (2,0,0) =2? Muss man für die Länge alle Zahlen addieren? Wieso dann Wurzel 3 und nicht nur 3?

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Stell dir einen Würfel mit der Kantenlänge \(1\) vor. Der Vektor \((1;1;1)\) ist die Raumdiagonale dieses Würfels. Ihre Länge kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:$$\ell=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3$$

Allgmein ist die Länge eines Vektors:$$\left\|\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}$$

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Jetzt verstehe ich es, danke dir.