Sei \(\alpha\) im linken Körper \(L\) die Restklasse von \(X\) mod \(X^2-2\),
und \(\beta\) im rechten Körper \(R\) die Restklasse von \(X\) mod \(X^2+2\).
Dann gilt \(\alpha^2=2\) in \(L\) und \(\beta^2=-2\) in \(R\).
Ein Isomorphismus \(f:L\rightarrow R\) würde auf dem Primkörper
\(\mathbb{Q}\) die Identität induzieren.
Die Elemente von \(L\) haben die Gestalt \(r+s\alpha\)
mit rationalen \(r,s\), die von \(R\) sehen so aus: \(x+y\beta\)
mit rationalen \(x,y\).
Nun ist \(f(\alpha)=x+y\beta\) mit geeigneten \(x,y\), also
\(2=f(2)=f(\alpha^2)=f(\alpha)^2=\)
\(=x^2+2xy\beta+y^2\beta^2=x^2-2y^2+2xy\beta\).
Koeffizientenvergleich liefert dann \(xy=0\).
Fall 1: \(x=0\), also \(2=-2y^2\Rightarrow y^2=-1\),
was für rationales \(y\) unmöglich ist.
Fall 2: \(y=0\), also \(x^2=2\), was für rationales
\(x\) unmöglich ist.
Daher sind die beiden Körper nicht isomorph.
Ähnlich untersuche die anderen Körperpaare !
