Sei \( K \) ein Körper.
(1) Sei \( n \in \mathbb{N} \), seien \( a_{1}, b_{1}, \ldots, a_{n}, b_{n} \in K^{*} \) und sei \( \pi \in \operatorname{Sym}(n) \) eine Permutation von \( n \). Zeigen Sie, dass die folgenden Isomorphien für Diagonalräume gelten:
\( \left[a_{1}^{2} b_{1}, \ldots, a_{n}^{2} b_{n}\right]_{K} \cong\left[b_{1}, \ldots, b_{n}\right]_{K} \quad \text { und } \quad\left[b_{1 \pi}, \ldots, b_{n \pi}\right]_{K}=\left[b_{1}, \ldots, b_{n}\right]_{K} \text {. } \)
Zeigen Sie weiter, für \( 1 \leq k \leq n \) und \( c_{1}, \ldots, c_{k} \in K^{*} \) mit \( \left[b_{1}, \ldots, b_{k}\right]_{K} \cong\left[c_{1}, \ldots, c_{k}\right]_{K} \) gilt:
\( \left[c_{1}, \ldots, c_{k}, b_{k+1}, \ldots, b_{n}\right]_{K} \cong\left[b_{1}, \ldots, b_{k}, b_{k+1}, \ldots, b_{n}\right]_{K} \)
(2) Sei nun speziell \( K=\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} \). Berechnen Sie \( \left\{x^{2} \mid x \in K\right\} \) und vergewissern Sie sich, dass
\( K=\{0\} \dot{U}\left\{x^{2} \mid x \in K^{*}\right\} \dot{\cup}\left\{-x^{2} \mid x \in K^{*}\right\} . \)
(3) Folgern Sie, dass jeder 4-dimensionale reguläre metrische Vektorraum über \( K=\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} \) isomorph zu wenigstens einem der folgenden Diagonalräume ist:
\( [1,1,1,1]_{K}, \quad[1,1,1,-1]_{K}, \quad[1,1,-1,-1]_{K}, \quad[1,-1,-1,1]_{K}, \quad[-1,-1,-1,-1]_{K} . \)
(4) Zeigen Sie, dass für \( K=\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} \) gilt: \( [1,1]_{K} \cong[-1,-1]_{K} \).
(5) Folgern Sie, dass es, bis auf Isomorphie, genau zwei 4-dimensionale reguläre metrische Vektorraum über \( K=\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} \) gibt: \( [1,1,1,1]_{K} \) und \( [1,1,1,-1]_{K} \).
