Darstellende Matrix einer Permutation

Question

Es sei π ∈ S_n eine Permutation und K ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

f_π : K^n → K^n,

welche durch f_π(x₁, ... , x_n) = (x_π(1) , ... , x_π(n) ) gegeben ist. Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung und sogar ein Isomorphismus ist. Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix von f_π bezüglich der Standardbasis des K^n .

Answer 1

Den Nachweis der Linearität erspare ich mir hier, da dieser

den üblichen Weg geht.

Dass es sich bei \(f_{\pi}\) um eine Bijektion handelt, ergibt sich aus

\(f_{\pi^{-1}}\circ f_{\pi}=id\). Eine bijektive lineare Abbildung ist sogar ein Isomorphismus.

Für den \(i-\)ten Standardeinheitsvektor \(e_i\) gilt \(f_{\pi}(e_i)=e_{\pi^{-1}(i)}\).

Damit ergibt sich für die darstellende Matrix

\(M(f_{\pi})=( \delta_{i,\pi^{-1}(j)})_{i,j}=( \delta_{\pi(i),j})_{i,j}\),

wobei \(\delta\) das Kronecker-Delta bedeutet.