Flächeninhalt Kurvenschar berechen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurvenschar:

f(x)=(x-1/k)e^-kx

Entwickeln Sie eine Idee, wie Sie den Flächeninhalt für k = 1 zwischen dem Graphen und der

x-Achse bestimmen können, und berechnen Sie diesen!

Zeigen Sie in diesem Zusammenhang, dass F(x) = -x × e^-x eine Stammfunktion zu f(x) ist
Problem/Ansatz:

Ich habe bereits zuvor die Nullstellen und Extrempunkte in Abhängigkeit des Parameters k berechnet, sowie die Ortskurve. Nun komme ich ehrlich gesagt bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Für k=1 habe ich ja schon die Nullstelle nämlich (0/1). Wie kann ich jetzt das Integral von der Nullstelle bis ins unendliche berechnen ? Und wie steht dies im Zusammenhang zu dieser Stammfunktion F(x) = -x × e^-x ?

Kann mir jmd. bitte bei dieser Aufgabe helfen.

Comments

Für k=1 habe ich ja schon die Nullstelle nämlich (0/1)

\(\frac{0}{1}\) ist nicht die Nullstelle von \(f\).

Außerdem schreibt man üblicherweise einfach \(0\) anstatt \(\frac{0}{1}\).

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Der Schnittpunkt mit der x-Achse liegt bei (0 | 1).

Das sollte also kein Bruch sein, sondern ein Punkt mit x und y-Koordinate.

Offensichtlich weiß dort jemand nicht, dass man bei einer Nullstelle nur von der x-Koordinate spricht, weil die y-Koordinate eh 0 ist.

Außerdem wird sträflich missachtet, dass bei einem Punkt die x-Koordinate zuerst und dann die y-Koordinate genannt wird.

Und weiterhin sollte auch gelernt werden das bei einem Punkt der Trenner zwischen x und y-Koordinate ein Senkrechter Strich ist und kein Schrägstrich wie bei geteilt.

Answer 1

Berechne \(\lim\limits_{x\to\infty} \int_{x_0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t\) wobei \(x_0\) die Nullstelle von \(f\) ist.

Answer 2

f(x)=(x-1/k)e^-kx

Für k = 1 vereinfacht sich die Funktion zu

f(x) = (x-1)e^(-x)

Zwischen dem Graphen und der x-Achse liegt die unbegrenzte Fläche im Intervall [1 ; ∞[. Die gilt es also zu berechnen.

F(x) = - x·e^(-x)

A = lim (x → ∞) (- x·e^(-x)) - (- 1·e^(-1)) = 0 - (- 1/e) = 1/e