P(X>=1) berechnen (Poisson)

Question

Hey, ich soll zeigen, dass \( P(X_n\geq 1)=0 \) für eine poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter \( \lambda_n=ln\big(1+\frac{1}{n^2} \big) \). Bei mir kommt aber leider nicht das richtige raus. Ich komme nicht auf 0...

So bin ich vorgegangen

\( \begin{aligned} \sum \limits_{n=1}^{\infty} P\left(X_{n} \geq 1\right) & =\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-P\left(X_{n}=0\right)\right) \\ & =\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\exp \left(-\ln \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right))\big)\right.\right. \\ & =\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{-1}\right) \\ & =\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}\right)\neq 0\end{aligned} \)

Wenn ich die Reihendarstellung hingegen weglassen würde, sondern einfach nur \(n \rightarrow \infty \) betrachten würde, würde es gegen 0 gehen, aber ist die Reihendarstellung nicht wichtig? Was mache ich nur falsch?!

Ich würde mich super über eure Hilfe freuen!!!

LG

Comments

Da würde ich gern mal den Original Text der Aufgabe sehen

Answer 1

Wieso hast du denn da eine Reihe? Mit den von dir zur Verfügung gestellten Informationen hast du eine Folge von Poisson-verteilten Zufallsgrößen \(X_n\).

Es gilt

\(P(X_n \geq 1) = 1- P(X_n = 0) = 1- e^{-\lambda_n}\)

\(= 1-e^{-\ln\big(1+\frac{1}{n^2} \big)} = 1-\frac 1{1+\frac{1}{n^2}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1-1 = 0\)

D.h.,

$$\lim_{n\to\infty}P(X_n \geq 1) = 0$$