Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung von F bzgl der Monomialen Basis B - Lösungskontrolle

Question

Leider haben wir für diese Aufgabentypen keine Lösungen und ich kenne leider niemanden aus LA 1 :(

Für \( p \in P_{2} \), den Polynomfunktionen vom Grad \( \leq 2 \), betrachten wir die lineare Abbildung \( F: P_{2} \rightarrow P_{2} \) (ohne Beweis) mit
\( [F(p)](x)=p(x+1)+p^{\prime}(x), \)
\( \mathcal{B}=\left(p_{0}, p_{1}, p_{2}\right) \) bezeichnet wie üblich die Monomiale Basis von \( P_{2} \) mit \( p_{k}(x)=x^{k} \).
(a) Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung von \( F \) bezüglich der Monomialen Basis \( \mathcal{B} \).

Meine Lösung :

\( _BB^B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) \)

Answer 1

Bestimme die Bilder der Basisvektoren

F(1)= 1 + 0 )= 1=1*1+0*x+0*x^2. Also 1. Spalte der Matrix bekannt:

\(\left(\begin{array}{ccc}1 & ? & ? \\ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ?\end{array}\right) \)

Für die 2. Spalte das Bild von p(x)=x bestimmen, das gibt

x+1 + 1 = x+2 . Also 2. Spalte bestimmt:

\(\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & ? \\ 0 & 1 & ? \\ 0 & 0 & ?\end{array}\right) \)

und für die 3. Spalte das Bild von p(x)=x^2 . Das gibt

(x+1)^2 + 2x = x^2 + 4x + 1 , also:

\(\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Comments

Könntest du vlt kurz erläutern was du mit Bild von p(x) meinst verstehe die Rechenschritte leider nicht. Wäre sehr hilfreich

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Durch \( [F(p)](x)=p(x+1)+p^{\prime}(x), \) wird doch zu jedem

Polynom p das Bild F(p) festgelegt.

z.B. für p(x)=1 ist ja p'(x)=0 also F(1)=1 + 0 = 1

für p(x)=x ist p'(x)=1 und es ist p(x+1)=x+1, also

p(x+1)+p'(x) = x+1+1=x+2   etc.

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Wie weiß ich das z.b  p(x)=1 und p‘x=0 ist. Ich verstehe es leider irgendwie nicht.

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Wie lauten denn die Elemente der Basis? Du musst ja die Bilder der einzelnen Basiselemente bestimmen. Es ist \( p'(x) \) nichts anderes als die dir bekannte Ableitung.

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Wie lauten denn die Elemente? Tut mir leid ich verstehe es nicht

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\( \mathcal{B} =(p_0,p_1,p_2) \) bezeichnet wie üblich die Monomiale Basis von \( P_{2} \) mit \( p_{k}(x)=x^{k} \).

Lies halt mal den Aufgabentext.

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Wie lauten denn die Elemente?

Das sind ja x^0=1  und x^1 =x und x^2.

Deren Bilder sind bestimmt durch

\( [F(p)](x)=p(x+1)+p^{\prime}(x), \)

Du musst also bei jedem dieser Polynome erstmal

p(x+1) bilden, also x durch x+1 ersetzen und dann

noch p ', also die Ableitung von p dazu addieren.

Bei dem Polynom p_o = 1 kommt ja kein x vor, also

bleibt nach dem Ersetzen immer noch nur die 1.

Die Ableitung der 1 ist 0, also hast du als Bild

von p_o= 1    \([F(p_0)](x)= [F(1)](x)=1 + 0  = 1 \)

Bei p₁=x^1 ist es also dann so

            \([F(p_1)](x)= [F(x)](x)=x+1+1 = x+2 \)

etc. wie ich es oben beschrieben habe.

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Dankeschön:)

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Wie löst man denn jz die Aufgabe aufbauen darauf?

Bestimmen sie eine Basis \( \mathcal{C}=\left(c_{0}, c_{1}, c_{2}\right) \) von \( P_{2} \), so dass \( { }_{C} F^{\mathcal{B}} \) die Einheitsmatrix ist. Benutzen Sie die Basis-Eigenschaft von \( \mathcal{B} \) um zu zeigen, dass auch \( \mathcal{C} \) eine Basis ist.