Wie kommt man von (e^(i*φ)-e^(-i*φ)) / (2*i) zu sin(φ)?

Question

Aufgabe: Wie kommt man von \( \frac{e^(i*φ)-e^(-i*φ)}{2*i} \) zu sin(φ)?  

Ansatz:
\( \frac{e^(i*φ)-e^(-i*φ)}{2*i} \)               =   //Brüche separieren
\( \frac{e^(i*φ)}{2*i} \)  - \( \frac{1}{2*i*e^(i*φ)} \)         =   //Zähler und Nenner mit i multiplizieren(\( \frac{1}{2*e^(i*φ)} \) - \( \frac{e^(i*φ)}{2} \))*i         =   //Brüche gleichnamig machen(\( \frac{1}{2*e^(i*φ)} \) - \( \frac{e^(i*φ)^2}{2*e^(i*φ)} \))*i      =   //Zähler in Polarkoordinaten umwandeln(\( \frac{1-(cos(φ)+i*sin(φ))^2}{2*e^(i*φ)} \))*i   =   //Nenner ausmultiplizieren(\( \frac{1-(cos^2(φ)+2*i*sin(φ)*cos(φ)-sin^2(φ))}{2*e^(i*φ)} \))*i =   mit 1-(cos^2(φ) = sin^2(φ)(\( \frac{1-2*i*sin(φ)*cos(φ)}{2*e^(i*φ)} \))*i    ?????

Answer 1

Hallo,

verwende \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi \)

und \(e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi \) .

Subtrahieren liefert

\(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}=2i\sin\varphi \).

Nun noch durch 2i dividieren.

Fertig.

:-)