Zeigen Sie: Dann gilt KernF=KernF^2

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Seien V ein Vektorraum mit dimV < unendlich und F:V–>V linear. Sei weiter BildF=BildF^2.
Zeigen Sie: Dann gilt KernF=KernF^2

Answer 1

Mit F ist auch F^2 linear und es gilt

dim(Kern(F^2) + dim(Bild(F^2)=dim(V)

genauso wie

dim(Kern(F) + dim(Bild(F)=dim(V)

Mit BildF=BildF². Gibt das also dim(Kern(F)dim(Kern(F^2).

Außerdem ist wegen F(x)=0 ==> F^2(x)=F(0)=0 jedenfalls

Kern(F^2) ⊆ Kern(F).

Und wenn ein Unterraum ( hier Kern(F^2) ) die gleiche dim hat

wie der Raum, von dem es Unterraum ist, dann sind beide gleich.