Zeigen Sie: Dann gilt KernF=KernF2

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Seien V ein Vektorraum mit dimV < unendlich und F:V–>V linear. Sei weiter BildF=BildF².
Zeigen Sie: Dann gilt KernF=KernF²

Answer 1

Mit F ist auch F² linear und es gilt

dim(Kern(F²) + dim(Bild(F²)=dim(V)

genauso wie

dim(Kern(F) + dim(Bild(F)=dim(V)

Mit BildF=BildF². Gibt das also dim(Kern(F)dim(Kern(F²).

Außerdem ist wegen F(x)=0 ==> F²(x)=F(0)=0 jedenfalls

Kern(F²) ⊆ Kern(F).

Und wenn ein Unterraum ( hier Kern(F²) ) die gleiche dim hat

wie der Raum, von dem es Unterraum ist, dann sind beide gleich.