Zeigen Sie mir vollständiger Induktion

Question

Aufgabe:

Die Zahl 3²ⁿ⁺⁴-2^n-1  ist für alle Natürlichen zahlen n > 1 durch 7 teilbar

Zeigen Sie mir vollständiger Induktion

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang wähle n = 1 stimmt funktioniert

Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass die oben genannte Zahl für ein beliebiges aber festes n € N funktioniert

IS: Zu zeigen n+1  3^2(n+1)+4-2(^n+1)-1

Weiter bin ich mir nicht sicher..

Ansatz wäre. Wir können den ersten Ausdruck aufteilen in 3²ⁿ Und 3⁶

^{Wie würde es weitergehen?}

Answer 1

Der Übergang zu n+1 liefert den Ausdruck

\(\red{9 \cdot 3^{2n+4}}-2\cdot 2^{n-1 }\), welcher sich in

\(\red{7\cdot 3^{2n+4}+2 \cdot 3^{2n+4}}-2\cdot 2^{n-1 }\) zerlegen lässt.

\(7\cdot 3^{2n+4}\) ist -warum wohl- durch 7 teilbar.

\(2 \cdot 3^{2n+4}-2\cdot 2^{n-1 }\) ist das Doppelte des laut Induktionsvoraussetzung durch 7 teilbaren Terms.