mit Hilfe Differentialrechnung, ist e^f(x) konvex?

Question

Aufgabe:

mit Hilfe Differentialrechnung, ist e^f(x) konvex ?

Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, dass für jede zweimal differenzierbare konvexe Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), die Funktion \( e^{f(x)} \) ebenfalls konvex ist. Hinweis: Denken Sie an die Beschreibung der Konvexität mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Danke im Voraus vor allem an @Tschakabumba ^_^

Answer 1

Aloha :)

Über das Krümmungsverhlaten der Funtion \(g(x)\coloneqq e^{f(x)}\) gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft. Da die innere Funktion \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) zweimal differenzierbar ist, gilt:$$g'(x)=\underbrace{e^{f(x)}}_{=u}\cdot \underbrace{f'(x)}_{=v}$$$$g''(x)=\underbrace{e^{f(x)}\cdot f'(x)}_{=u'}\cdot \underbrace{f'(x)}_{=v}+\underbrace{e^{f(x)}}_{=u}\cdot \underbrace{f''(x)}_{=v'}=\underbrace{e^{f(x)}}_{>0}\cdot(\underbrace{[f'(x)]^2}_{\ge0}+\underbrace{f''(x)}_{\ge0})\ge0$$

Die Exponentialfunktion ist für alle reellen Argumente positiv: \(e^{f(x)}>0\)

Quadratzahlen sind in \(\mathbb R\) nicht-negativ: \([f'(x)]^2\ge0\)

\(f(x)\) ist nach Voraussetzung konvex: \(f''(x)\ge0\)

Damit ist \(g''(x)\ge0\), sodass auch \(g(x)=e^{f(x)}\) konvex ist.