Konvergenz von einer Subtraktion

Question

Aufgabe:

(A)

Prüfen sie die Folge a(n) auf Konvergenz und berechnen sie gegeben falls den Grenzwert

a(n)= 2n^4- sqrt(4n^8+2n+3)

Problem/Ansatz:

ich kann das rechnerisch leider nicht lösen, komm da immer auf was ganz anderes. Ich weiß dass es für *-inf 0 wird und bei 0 sqrt3.

Vielleicht kann mir jemand ein mal zeigen wie man da startet/umformt und was man dann machen muss.ö

Danke schon mal

Answer 1

Für n -> oo kannst du 2n+3 vernachlässigen

2n^4 -2n^4 = 0 , da √(4n^8) = 2n^4

-> lim =0 für n ->oo

Answer 2

Hier hilft die Formel \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) umgestellt nach

$$a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b}$$

Also

$$2n^4-\sqrt{4n^8+2n+3} = \frac{4n^8-(4n^8+2n+3)}{2n^4+\sqrt{4n^8+2n+3}}$$

$$-\frac{2n+3}{2n^4+\sqrt{4n^8+2n+3}} = -\frac 1{n^3}\frac{2+\frac 3n}{2+\sqrt{1+\frac 2{n^7} + \frac 3{n^8}}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\cdot 1 = 0$$